Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$

J. Boxall; E. Bavencoffe

Quelques propriétés arithmétiques des points de

3

-division de la jacobienne de

y^{2} = x^{5} - 1

J. Boxall ; E. Bavencoffe

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 4 (1992) no. 1, pp. 113-128.

Résumé

Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$ , et dont un modèle affine est donné par $y^{2} = x^{5} - 1$ . On désigne par $\infty$ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $φ : C^{2} ⟶ J$ le morphisme associant à chaque couple $(ξ, η)$ de points de $C$ la classe du diviseur $[ξ] + [η] - 2 [\infty]$ dans Pic $_{0} C$ . Soient $u, v, f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par

\begin{matrix} u \circ φ (ξ, η) & = x (ξ) + x (η), \\ v \circ φ (ξ, η) & = x (ξ) x (η), \\ f & = - u + v + 1 \end{matrix}

Le but de cet article est de montrer que pour tout point

P

de

3

-division non nul de

J, u (P)

et

v (P)

sont des entiers algébriques et

f (P) / \sqrt{5}

est une unité. Nous expliciterons le corps engendré par ces valeurs ainsi que le polynôme minimal des

f (P)

.

MR Zbl

@article{JTNB_1992__4_1_113_0,
     author = {J. Boxall and E. Bavencoffe},
     title = {Quelques propri\'et\'es arithm\'etiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {113--128},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {4},
     number = {1},
     year = {1992},
     zbl = {0766.14019},
     mrnumber = {1183921},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1992__4_1_113_0/}
}

TY  - JOUR
AU  - J. Boxall
AU  - E. Bavencoffe
TI  - Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 1992
SP  - 113
EP  - 128
VL  - 4
IS  - 1
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1992__4_1_113_0/
LA  - fr
ID  - JTNB_1992__4_1_113_0
ER  -

%0 Journal Article
%A J. Boxall
%A E. Bavencoffe
%T Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 1992
%P 113-128
%V 4
%N 1
%I Université Bordeaux I
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1992__4_1_113_0/
%G fr
%F JTNB_1992__4_1_113_0

J. Boxall; E. Bavencoffe. Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 4 (1992) no. 1, pp. 113-128. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1992__4_1_113_0/

Bibliographie
Cité par

[BMMB] J.-B. Bost, J.-F. Mestre, L. Moret-Bailly, Calcul explicite en genre 2, dans Séminaire sur les pinceaux de courbes elliptiques, édité par L Szpiro. Astérisque 183 (1990). | MR

[F] J.D. Fay, Theta Functions on Riemann Surfaces, Lecture Notes in Math. 352, Springer- Verlag (1973). | MR | Zbl

[G1] D. Grant, Formal Groups in Genus Two, J. Reine und Angew. Math. 441 (1990), 96-121. | MR | Zbl

[G2] D. Grant, A Generalisation of a Formula of Eisenstein, Proc. London Math. Soc., (3) 62 (1991), 121-132. | MR | Zbl

[M] D. Mumford, Tata Lectures on Theta II., Progress in Math. 43, Birkhäuser, (1984). | MR | Zbl

[Sh-Ta] G. Shimura, Y. Tanayama, Complex Multiplication of Abelian Varieties and Its Application to Number Theory, Mathematical Society of Japan (1961). | MR | Zbl

[We] A. Weil, On the Theory of Complex Multiplication, Proc. International Symposium on Algebraic Number Theory, Tokyo- Nikko (1955), 9-12. | MR | Zbl