Sur certains ensembles normaux

J.-P. Borel

J.-P. Borel

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 1 (1989) no. 1, pp. 67-79.

Résumé
Abstract

$Λ$ étant une suite de nombres réels, soit $B (Λ)$ l’ensemble normal associé. Pour $A \subset ℝ$ , nous étudions la question : existe-t-il une suite $Λ$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A = B (Λ)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$ . Dans les cas les plus simples, où $A \subset ℤ$ , ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q \in ℝ [X]$ , avec la contrainte « $P Q$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles $A$ .

Let $Λ$ be a sequence of real numbers and $B (Λ)$ the associated normal set, i.e. the set of all real numbers $x$ such that $x Λ$ is uniformely distributed modulo one. Our main problem is the following : for a given $A \subset ℝ$ , does there exist a bounded sequence $Λ$ such that $A = B (Λ)$ ? In some particular cases, when $A \subset ℤ$ , we give an estimate of the minimal length of a bounded subinterval $I$ of $ℝ$ in which $Λ$ can be taken. We prove that to obtain such an estimate, we have to study the following problem on polynomials : for a given polynomial $P$ with no positive root, find the minimal degree $δ Q$ of those polynomials $Q$ such that the product $P . Q$ has only positive coefficients.

MR Zbl

Classification : 11K06
Mots clés : ensembles normaux, répartition modulo 1

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