On Robin’s criterion for the Riemann hypothesis
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 19 (2007) no. 2, pp. 357-372.

Robin’s criterion states that the Riemann Hypothesis (RH) is true if and only if Robin’s inequality σ(n):= d|n d<e γ nloglogn is satisfied for n5041, where γ denotes the Euler(-Mascheroni) constant. We show by elementary methods that if n37 does not satisfy Robin’s criterion it must be even and is neither squarefree nor squarefull. Using a bound of Rosser and Schoenfeld we show, moreover, that n must be divisible by a fifth power >1. As consequence we obtain that RH holds true iff every natural number divisible by a fifth power >1 satisfies Robin’s inequality.

Le critère de Robin spécifie que l’hypothèse de Riemann (RH) est vraie si et seulement si l’inégalité de Robin σ(n):= d|n d<e γ nloglogn est vérifiée pour n5041, avec γ la constante d’Euler(-Mascheroni). Nous montrons par des méthodes élémentaires que si n37 ne satisfait pas au critère de Robin il doit être pair et il n’est ni sans facteur carré ni non divisible exactement par un premier. Utilisant une borne de Rosser et Schoenfeld, nous montrons, en outre, que n doit être divisible par une puissance cinquième >1. Comme corollaire, nous obtenons que RH est vraie ssi chaque entier naturel divisible par une puissance cinquième >1 vérifie l’inégalité de Robin.

DOI: 10.5802/jtnb.591
YoungJu Choie 1; Nicolas Lichiardopol 2; Pieter Moree 3; Patrick Solé 4

1 Dept of Mathematics POSTECH Pohang, Korea 790-784
2 ESSI Route des Colles 06 903 Sophia Antipolis, France
3 Max-Planck-Institut für Mathematik Vivatsgasse 7 D-53111 Bonn, Germany
4 CNRS-I3S ESSI Route des Colles 06 903 Sophia Antipolis, France
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YoungJu Choie; Nicolas Lichiardopol; Pieter Moree; Patrick Solé. On Robin’s criterion for the Riemann hypothesis. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 19 (2007) no. 2, pp. 357-372. doi : 10.5802/jtnb.591. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.591/

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