In this note we investigate the behaviour of the absolute logarithmic Weil-height on extensions of the field of totally real numbers. It is known that there is a gap between and the next smallest value of on , whereas in there are elements of arbitrarily small positive height. We prove that all elements of small height in any finite extension of already lie in . This leads to a positive answer to a question of Amoroso, David and Zannier, if there exists a pseudo algebraically closed field with the mentioned height gap.
Dans cette note, nous étudions le comportement de la hauteur de Weil (logarithmique, absolue) sur les extensions du corps des nombres totalement réels. On sait qu’il y a un écart entre zéro et la plus petite valeur non nulle de la hauteur sur le corps , tandis que dans il y a des nombres de hauteur (non nulle) arbitrairement petite. Nous prouvons que tous les éléments de petite hauteur dans une extension finie quelconque de sont déjà dans . Cela permet de donner une réponse positive à une question d’Amoroso, David et Zannier, concernant l’existence de corps pseudo algébriquement clos avec l’écart de hauteur que nous avons mentionné.
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DOI: 10.5802/jtnb.961
Keywords: height bounds, totally real numbers, pseudo algebraically closed fields
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Lukas Pottmeyer. A Note on Extensions of $\mathbb{Q}^{tr}$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 28 (2016) no. 3, pp. 735-742. doi : 10.5802/jtnb.961. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.961/
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