Level raising for p-adic Hilbert modular forms
James Newton1
1 Imperial College London Department of Mathematics, London SW7 2AZ, UK
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 3, pp. 621-653.

This paper generalises previous work of the author to the setting of overconvergent p-adic automorphic forms for a definite quaternion algebra over a totally real field. We prove results which are analogues of classical ‘level raising’ results in the theory of mod p modular forms. Roughly speaking, we show that an overconvergent eigenform of finite slope whose associated local Galois representation at some auxiliary prime 𝔩∤p is (a twist of) a direct sum of trivial and cyclotomic characters lies in a family of eigenforms whose local Galois representation at 𝔩 is generically (a twist of) a ramified extension of trivial by cyclotomic.

We give some explicit examples of p-adic automorphic forms to which our results apply, and give a general family of examples whose existence would follow from counterexamples to the Leopoldt conjecture for totally real fields.

These results also play a technical role in other work of the author on the problem of local–global compatibility at Steinberg places for Hilbert modular forms of partial weight one.

Ce travail généralise les résultats antérieurs de l’auteur au cas de formes automorphes surconvergentes p-adiques pour une algèbre de quaternions totalement définie sur un corps totalement réel. Nous montrons des résultats qui sont les analogues de résultats classiques « d’augmentation du niveau » dans la théorie des formes modulaires mod p.

Grosso modo, nous montrons qu’une forme propre surconvergente p-adique de pente finie dont la représentation galoisienne locale associée à un idéal premier auxiliaire 𝔩∤p est, à torsion par une caractère près, somme directe de caractères triviaux et cyclotomiques réside dans une famille de formes propres dont les représentations galoisiennes locales en 𝔩 sont génériquement (à torsion près) une extension ramifiée du caractère trivial par le caractère cyclotomique.

Nous donnons quelques exemples explicites de formes automorphes p-adiques à laquelle nos résultats sont applicables, et donnons une famille générale d’exemples dont l’existence résulterait de contre-exemples à la conjecture de Leopoldt pour les corps totalement réels.

Ces résultats sont utilisés dans un autre travail de l’auteur sur le problème de compatibilité locale–globale aux places de Steinberg pour les formes modulaires de Hilbert « de poids partiel un ».

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DOI : 10.5802/jtnb.956
Classification : 11F41, 11F33, 11F80
Mots-clés : Hilbert modular forms, overconvergent automorphic forms, families of Galois representations

James Newton 1

1 Imperial College London Department of Mathematics, London SW7 2AZ, UK 
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James Newton. Level raising for $p$-adic Hilbert modular forms. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 3, pp. 621-653. doi : 10.5802/jtnb.956. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.956/

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