On the law of the iterated logarithm for trigonometric series with bounded gaps II
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 2, pp. 391-416.

Dans un article précédent, nous avons montré l’existence d’une suite (n k ) k1 de nombres entiers positifs avec sauts bornés telle que nous ayons une loi logarithm itérée (LIL) de la forme

lim supNk=1Ncos2πnkxNloglogN=pourpresquetousx.

Dans le présent travail, nous prouvons un résultat complémentaire montrant que tout comportement limsup prescrit dans la LIL est possible pour des suites avec sauts bornés. Plus précisément, nous montrons que pour tout nombre réel Λ0, il existe une suite d’entiers (n k ) k1 satisfaisant n k+1 -n k {1,2} telle que la limsup dans la LIL soit égale à Λ pour presque tout x. Des résultats similaires sont montrés pour des sommes f(n k ,x) et pour la discrépance (n k x) k1 .

In an earlier paper we proved that there exists a sequence (n k ) k1 of positive integers with bounded gaps such that we have a law of the iterated logarithm (LIL) in the form

lim supNk=1Ncos2πnkxNloglogN=foralmostallx.

In the present paper we prove a complementary results showing that any prescribed limsup-behavior in the LIL is possible for sequences with bounded gaps. More precisely, we show that for any real number Λ0 there exists a sequence of integers (n k ) k1 satisfying n k+1 -n k {1,2} such that the limsup in the LIL equals Λ for almost all x. Similar results are proved for sums f(n k x) and for the discrepancy of (n k x) k1 .

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DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.945
Classification : 60F15,  11K38,  42A32
Mots clés : Law of the iterated logarithm, lacunary trigonometric series, metric discrepancy theory, probabilistic methods
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     author = {Christoph Aistleitner and Katusi Fukuyama},
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     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
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Christoph Aistleitner; Katusi Fukuyama. On the law of the iterated logarithm for trigonometric series with bounded gaps II. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 2, pp. 391-416. doi : 10.5802/jtnb.945. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.945/

[1] C. Aistleitner & I. Berkes, « Probability and metric discrepancy theory », Stoch. Dyn. 11 (2011), no. 1, p. 183-207. | Article | MR 2771348 | Zbl 1260.11051

[2] C. Aistleitner, I. Berkes & K. Seip, « GCD sums from Poisson integrals and systems of dilated functions », J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 17 (2015), no. 6, p. 1517-1546. | Article | MR 3353808 | Zbl 1344.11053

[3] V. I. Arnolʼd, « To what extent are arithmetic progressions of fractional parts random? », Uspekhi Mat. Nauk 63 (2008), no. 2(380), p. 5-20. | Article

[4] R. C. Baker, « Metric number theory and the large sieve », J. London Math. Soc. (2) 24 (1981), no. 1, p. 34-40. | Article | MR 623668 | Zbl 0422.10048

[5] I. Berkes, « A central limit theorem for trigonometric series with small gaps », Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 47 (1979), no. 2, p. 157-161. | Article | MR 523167 | Zbl 0499.60019

[6] —, « Probability theory of the trigonometric system », in Limit theorems in probability and statistics (Pécs, 1989), Colloq. Math. Soc. János Bolyai, vol. 57, North-Holland, Amsterdam, 1990, p. 35-58. | Zbl 0749.60020

[7] I. Berkes & W. Philipp, « The size of trigonometric and Walsh series and uniform distribution mod 1 », J. London Math. Soc. (2) 50 (1994), no. 3, p. 454-464. | Article | MR 1299450 | Zbl 0833.11037

[8] S. G. Bobkov & F. Götze, « Concentration inequalities and limit theorems for randomized sums », Probab. Theory Related Fields 137 (2007), no. 1-2, p. 49-81. | Article | MR 2278452 | Zbl 1111.60014

[9] P. Borwein & R. Lockhart, « The expected L p norm of random polynomials », Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), no. 5, p. 1463-1472. | Article | Zbl 0999.30004

[10] M. Drmota & R. F. Tichy, Sequences, discrepancies and applications, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1651, Springer-Verlag, Berlin, 1997, xiv+503 pages. | Zbl 0877.11043

[11] U. Einmahl & D. M. Mason, « Some universal results on the behavior of increments of partial sums », Ann. Probab. 24 (1996), no. 3, p. 1388-1407. | Article | MR 1411499 | Zbl 0872.60022

[12] T. Erdélyi, « Polynomials with Littlewood-type coefficient constraints », in Approximation theory, X (St. Louis, MO, 2001), Innov. Appl. Math., Vanderbilt Univ. Press, Nashville, TN, 2002, p. 153-196. | Zbl 1053.41008

[13] K. Fukuyama, « A law of the iterated logarithm for discrepancies: non-constant limsup », Monatsh. Math. 160 (2010), no. 2, p. 143-149. | Article | MR 2644217 | Zbl 1215.11075

[14] —, « Pure Gaussian limit distributions of trigonometric series with bounded gaps », Acta Math. Hungar. 129 (2010), no. 4, p. 303-313. | Article | MR 2739766 | Zbl 1240.42020

[15] —, « A central limit theorem to trigonometric series with bounded gaps », Probab. Theory Related Fields 149 (2011), no. 1-2, p. 139-148. | Article | MR 2773027 | Zbl 1231.60020

[16] V. F. Gapoškin, « Lacunary series and independent functions », Uspehi Mat. Nauk 21 (1966), no. 6 (132), p. 3-82. | Article | MR 206556

[17] L. Gordon, M. F. Schilling & M. S. Waterman, « An extreme value theory for long head runs », Probab. Theory Relat. Fields 72 (1986), no. 2, p. 279-287. | Article | MR 836278 | Zbl 0587.60031

[18] R. Kaas & J. M. Buhrman, « Mean, median and mode in binomial distributions », Statist. Neerlandica 34 (1980), no. 1, p. 13-18. | Article | MR 576005 | Zbl 0444.62021

[19] M. Kac, « Probability methods in some problems of analysis and number theory », Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), p. 641-665. | Article | MR 31504 | Zbl 0036.30502

[20] J.-P. Kahane, « Lacunary Taylor and Fourier series », Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964), p. 199-213. | Article | MR 162919

[21] L. Kuipers & H. Niederreiter, Uniform distribution of sequences, Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York-London-Sydney, 1974, Pure and Applied Mathematics, xiv+390 pages. | Zbl 0281.10001

[22] W. Philipp, « Limit theorems for lacunary series and uniform distribution mod 1 », Acta Arith. 26 (1974/75), no. 3, p. 241-251. | Article | MR 379420 | Zbl 0263.10020

[23] T. Šalát, « On subseries », Math. Z. 85 (1964), p. 209-225. | Article | MR 179507 | Zbl 0127.28801

[24] R. Salem & A. Zygmund, « Some properties of trigonometric series whose terms have random signs », Acta Math. 91 (1954), p. 245-301. | Article | MR 65679 | Zbl 0056.29001

[25] P. Schatte, « On a law of the iterated logarithm for sums mod 1 with application to Benford’s law », Probab. Theory Related Fields 77 (1988), no. 2, p. 167-178. | Article | MR 927235

[26] J. Túri, « Limit theorems for the longest run », Ann. Math. Inform. 36 (2009), p. 133-141. | Zbl 1212.60023

[27] M. Weber, « Discrepancy of randomly sampled sequences of reals », Math. Nachr. 271 (2004), p. 105-110. | Article | MR 2068886 | Zbl 1122.11049