Certain codes related to generalized paperfolding sequences
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 1, pp. 149-169.

Let RBC be the reflected binary code, which is also called the Gray code, S RBC be the sum of digits function for RBC, and {P b 0 (n)} n=1 be the regular paperfolding sequence. In their previous work the authors proved that the difference function of the sum of digits function for RBC, {S RBC (n)-S RBC (n-1)} n=1 , coincides with {P b 0 (n)} n=1 . From an infinite sequence b={b k } k=0 with b k {-1,1}, one can construct an infinite sequence {P b (n)} n=1 which is called the generalized paperfolding sequence with respect to b. In this paper, when we assume b is periodic, we propose a new numeration code 𝒞 b , and study some properties of the code 𝒞 b in Theorem 1.2. We can prove that the difference function of the sum of digits function S 𝒞 b for 𝒞 b , {S 𝒞 b (n)-S 𝒞 b (n-1)} n=1 , coincides with the generalized paperfolding sequence {P b (n)} n=1 (Theorem 1.1). We also give an exact formula for the average of S 𝒞 b in Theorem 1.3.

Soit RBC le code binaire réfléchi, qui est aussi connu sous le nom de code de Gray, soit S RBC la somme des chiffres pour RBC, et soit {P b 0 (n)} n=1 la suite du pliage régulier de papier. Les auteurs ont montré que la différence première de la somme des chiffres pour RBC, {S RBC (n)-S RBC (n-1)} n=1 , coïncide avec {P b 0 (n)} n=1 . Pour toute suite infinie b={b k } k=0 , avec b k {-1,1}, on peut construire une suite infinie {P b (n)} n=1 , appelée suite de pliage de papier généralisée associée à b. Dans cet article, supposons que la suite b est periodique, nous proposons un nouveau code (de numération) 𝒞 b défini par b, et nous étudions les propriétés du code 𝒞 b dans le Théorème 1.2. Nous montrons que la différence première de la somme des chiffres pour 𝒞 b , {S 𝒞 b (n)-S 𝒞 b (n-1)} n=1 , coïncide avec la suite de pliage de papier généralisée {P b (n)} n=1 (Théorème 1.1). Puis nous donnons une formule exacte pour la moyenne de la somme des chiffres pour 𝒞 b dans le Théorème 1.3.

DOI: 10.5802/jtnb.896
Classification: 11B85, 11A25
Keywords: Paperfolding sequence, Numeration system, Sum of digits function
Yuichi Kamiya 1; Leo Murata 2

1 Department of Modern Economics Faculty of Economics Daito Bunka University 560 Iwadono, Higashi-Matsuyama Saitama 355-8501, Japan
2 Department of Mathematics Faculty of Economics Meiji Gakuin University 1-2-37 Shirokanedai Minato-ku, Tokyo 108-8636, Japan
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Yuichi Kamiya; Leo Murata. Certain codes related to generalized paperfolding sequences. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 1, pp. 149-169. doi : 10.5802/jtnb.896. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.896/

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Cited by Sources: