Certain codes related to generalized paperfolding sequences
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 1, pp. 149-169.

Let RBC be the reflected binary code, which is also called the Gray code, ${S}_{\mathrm{RBC}}$ be the sum of digits function for RBC, and ${\left\{{P}_{{\mathbf{b}}_{0}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ be the regular paperfolding sequence. In their previous work the authors proved that the difference function of the sum of digits function for RBC, ${\left\{{S}_{\mathrm{RBC}}\left(n\right)-{S}_{\mathrm{RBC}}\left(n-1\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$, coincides with ${\left\{{P}_{{\mathbf{b}}_{0}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$. From an infinite sequence $\mathbf{b}={\left\{{b}_{k}\right\}}_{k=0}^{\infty }$ with ${b}_{k}\in \left\{-1,1\right\}$, one can construct an infinite sequence ${\left\{{P}_{\mathbf{b}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ which is called the generalized paperfolding sequence with respect to $\mathbf{b}$. In this paper, when we assume $\mathbf{b}$ is periodic, we propose a new numeration code ${𝒞}_{\mathbf{b}}$, and study some properties of the code ${𝒞}_{\mathbf{b}}$ in Theorem 1.2. We can prove that the difference function of the sum of digits function ${S}_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}$ for ${𝒞}_{\mathbf{b}}$, ${\left\{{S}_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}\left(n\right)-{S}_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}\left(n-1\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$, coincides with the generalized paperfolding sequence ${\left\{{P}_{\mathbf{b}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ (Theorem 1.1). We also give an exact formula for the average of ${S}_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}$ in Theorem 1.3.

Soit RBC le code binaire réfléchi, qui est aussi connu sous le nom de code de Gray, soit ${S}_{\mathrm{RBC}}$ la somme des chiffres pour RBC, et soit ${\left\{{P}_{{\mathbf{b}}_{0}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ la suite du pliage régulier de papier. Les auteurs ont montré que la différence première de la somme des chiffres pour RBC, ${\left\{{S}_{\mathrm{RBC}}\left(n\right)-{S}_{\mathrm{RBC}}\left(n-1\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$, coïncide avec ${\left\{{P}_{{\mathbf{b}}_{0}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$. Pour toute suite infinie $\mathbf{b}={\left\{{b}_{k}\right\}}_{k=0}^{\infty }$, avec ${b}_{k}\in \left\{-1,1\right\}$, on peut construire une suite infinie ${\left\{{P}_{\mathbf{b}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$, appelée suite de pliage de papier généralisée associée à $\mathbf{b}$. Dans cet article, supposons que la suite $\mathbf{b}$ est periodique, nous proposons un nouveau code (de numération) ${𝒞}_{\mathbf{b}}$ défini par $\mathbf{b}$, et nous étudions les propriétés du code ${𝒞}_{\mathbf{b}}$ dans le Théorème 1.2. Nous montrons que la différence première de la somme des chiffres pour ${𝒞}_{\mathbf{b}}$, ${\left\{{S}_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}\left(n\right)-{S}_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}\left(n-1\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$, coïncide avec la suite de pliage de papier généralisée ${\left\{{P}_{\mathbf{b}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ (Théorème 1.1). Puis nous donnons une formule exacte pour la moyenne de la somme des chiffres pour ${𝒞}_{\mathbf{b}}$ dans le Théorème 1.3.

DOI: 10.5802/jtnb.896
Classification: 11B85,  11A25
Keywords: Paperfolding sequence, Numeration system, Sum of digits function
Yuichi Kamiya 1; Leo Murata 2

1 Department of Modern Economics Faculty of Economics Daito Bunka University 560 Iwadono, Higashi-Matsuyama Saitama 355-8501, Japan
2 Department of Mathematics Faculty of Economics Meiji Gakuin University 1-2-37 Shirokanedai Minato-ku, Tokyo 108-8636, Japan
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Yuichi Kamiya; Leo Murata. Certain codes related to generalized paperfolding sequences. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 1, pp. 149-169. doi : 10.5802/jtnb.896. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.896/

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Cited by Sources: