Soient $\bar{\mathbb{Q}}$ une clôture algébrique de $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}^{tr}$ le sous-corps de $\bar{\mathbb{Q}}$ formé de la réunion des corps de nombres totalement réels. Pour tout nombre premier $p\ge 3$, soit $F_p/\mathbb{Q}$ la courbe de Fermat d’équation $x^p+y^p+z^p=0$. En 1996, Pop a démontré que le corps $\mathbb{Q}^{tr}$ est large. En particulier, l’ensemble $F_p(\mathbb{Q}^{tr})$ des points de $F_p$ rationnels sur $\mathbb{Q}^{tr}$ est infini. Comment expliciter des points non triviaux ($xyz\ne 0$) de $F_p(\mathbb{Q}^{tr})$ ? Si on a $p\ge 5$, il semble que les seuls points déjà connus de $F_p(\mathbb{Q}^{tr})$ soient ceux de $F_p(\mathbb{Q})$ et ils sont triviaux. Dans cet article, on s’intéresse à cette question dans le cas où $p=5$. Il n’existe pas de corps totalement réels de degré sur $\mathbb{Q}$ au plus $5$ sur lesquels $F_5$ a des points non triviaux. On se propose ici d’expliciter une infinité de points de $F_5$ rationnels sur des corps totalement réels de degré $6$ sur $\mathbb{Q}$.
Let $\bar{\mathbb{Q}}$ be an algebraic closure of $\mathbb{Q}$ and $\mathbb{Q}^{tr}$ be the subfield of $\bar{\mathbb{Q}}$ obtained by taking the union of all totally real number fields. For any prime $p\ge 3$, let $F_p/\mathbb{Q}$ be the Fermat curve of equation $x^p+y^p+z^p=0$. In 1996, Pop has shown that the field $\mathbb{Q}^{tr}$ is large. In particular, the set $F_p(\mathbb{Q}^{tr})$ of the points of $F_p$ rational over $\mathbb{Q}^{tr}$ is infinite. How to explicit non-trivial points $(xyz\ne 0$) in $F_p(\mathbb{Q}^{tr})$ ? If one has $p\ge 5$, it seems that the only points already known in $F_p(\mathbb{Q}^{tr})$ are those of $F_p(\mathbb{Q})$ and they are trivial. In this paper, we investigate this question in case $p=5$. There are no totally real fields whose degree over $\mathbb{Q}$ is at most $5$ over which $F_5$ has non-trivial points. We propose here to explicit infinitely many points of $F_5$ rational over totally real fields of degree $6$ over $\mathbb{Q}$.
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Mots-clés : Équation de Fermat, Corps de nombres, Points totalement réels, Coniques
Alain Kraus 1
CC-BY-ND 4.0
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Alain Kraus. Points totalement réels de la courbe $x^5+y^5+z^5=0$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 37 (2025) no. 2, pp. 457-467. doi: 10.5802/jtnb.1328
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