Gauss and Dedekind have shown a bijection between the set of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$-equivalence classes of positive binary quadratic $\mathbb{Z}$-forms of the discriminant of an imaginary quadratic field and the class group of its ring of integers. Using étale cohomology we show an analogue of this correspondence in the positive characteristic. This leads to the description of the set of genera and to another result analogous to Gauss’ one by which any form composed with it belongs to the principal genus.
Gauss et Dedekind ont établi une bijection entre l’ensemble des $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$-orbites de $\mathbb{Z}$-formes quadratiques binaires positives de discriminant fixé et le groupe des classes de l’anneau des entiers du corps quadratique imaginaire de même discriminant. En utilisant la cohomologie étale, nous montrons un analogue de cette correspondance en caractéristique positive. Cela nous ramène à la description de l’ensemble des genres et à un autre résultat, analogue à celui de Gauss, selon lequel toute forme composée avec elle-même appartient au genre principal.
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Keywords: Quadratic binary forms over integer rings of global fields of positive characteristic
Rony A. Bitan 1
CC-BY-ND 4.0
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Rony A. Bitan. The Geometric Gauss–Dedekind. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 37 (2025) no. 1, pp. 373-387. doi: 10.5802/jtnb.1325
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