Kähler differentials and $\mathbf{Z}_p$-extensions

Laurent Berger

doi:10.5802/jtnb.1308

Kähler differentials and

Z_{p}

-extensions

Laurent Berger ¹

¹ UMPA de l’ENS de Lyon UMR 5669 du CNRS

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 3, pp. 1077-1084.

Résumé
Abstract

Soit $K$ un corps $p$ -adique, et soit $K_{\infty} / K$ une extension galoisienne qui est presque totalement ramifiée, et dont le groupe de Galois est un groupe de Lie $p$ -adique de dimension $1$ . Nous montrons que $K_{\infty}$ n’est pas dense dans ${(B_{dR}^{+} / {Fil}^{2} B_{dR}^{+})}^{Gal (\bar{K} / K_{\infty})}$ . De plus, la restriction de $θ$ à l’adhérence de $K_{\infty}$ est injective, et l’image de celle-ci via $θ$ est l’ensemble des vecteurs du complété $p$ -adique de $K_{\infty}$ qui sont $C^{1}$ de dérivée nulle pour l’action de $Gal (K_{\infty} / K)$ . L’ingrédient principal pour montrer ces résultats est la construction d’un réseau explicite de $𝒪_{K_{\infty}}$ qui est commensurable avec $𝒪_{K_{\infty}}^{d = 0}$ , où $d : 𝒪_{K_{\infty}} \to Ω_{𝒪_{K_{\infty}} / 𝒪_{K}}$ est la différentielle canonique.

Let $K$ be a $p$ -adic field, and let $K_{\infty} / K$ be a Galois extension that is almost totally ramified, and whose Galois group is a $p$ -adic Lie group of dimension $1$ . We prove that $K_{\infty}$ is not dense in ${(B_{dR}^{+} / {Fil}^{2} B_{dR}^{+})}^{Gal (\bar{K} / K_{\infty})}$ . Moreover, the restriction of $θ$ to the closure of $K_{\infty}$ is injective, and the image of the closure via $θ$ is the set of vectors of the $p$ -adic completion of $K_{\infty}$ that are $C^{1}$ with zero derivative for the action of $Gal (K_{\infty} / K)$ . The main ingredient for proving these results is the construction of an explicit lattice of $𝒪_{K_{\infty}}$ that is commensurable with $𝒪_{K_{\infty}}^{d = 0}$ , where $d : 𝒪_{K_{\infty}} \to Ω_{𝒪_{K_{\infty}} / 𝒪_{K}}$ is the canonical differential.

Reçu le : 2023-07-07
Accepté le : 2023-10-20
Publié le : 2025-03-31

DOI : 10.5802/jtnb.1308

Classification : 11S15, 11S20, 13N05
Mots-clés : Ramification, Different, Kähler differentials, Tate traces, rings of

p

-adic periods

Affiliations des auteurs :

Laurent Berger ¹

¹ UMPA de l’ENS de Lyon UMR 5669 du CNRS

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Laurent Berger. Kähler differentials and $\mathbf{Z}_p$-extensions. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 3, pp. 1077-1084. doi : 10.5802/jtnb.1308. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1308/

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