$\widehat{\mathcal{D}}^{(0)}_{\mathfrak{X}, k, \mathbb{Q}}$-modules holonomes sur une courbe formelle

Raoul Hallopeau

doi:10.5802/jtnb.1299

{\hat{𝒟}}_{𝔛, k, ℚ}^{(0)}

-modules holonomes sur une courbe formelle

Raoul Hallopeau ¹

¹ Irma, Université de Strasbourg 7 rue René Descartes 67000 Strasbourg, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 3, pp. 869-917.

Résumé
Abstract

Soit $𝒱$ un anneau complet de valuation discrète de caractéristique mixte $(0, p)$ et $𝔛$ une courbe formelle lisse sur $𝒱$ . Pour le faisceau ${\hat{𝒟}}_{𝔛, ℚ}^{(0)}$ des opérateurs différentiels cristallins de niveau zéro engendré localement par les dérivations, Laurent Garnier a démontré que les ${\hat{𝒟}}_{𝔛, ℚ}^{(0)}$ -modules holonomes au sens de Berthelot sont de longueurs finies. En reprenant les méthodes de Garnier, nous généralisons dans cet article ce résultat au cas des faisceaux ${\hat{𝒟}}_{𝔛, k, ℚ}^{(0)}$ introduits par Christine Huyghe, Tobias Schmidt et Matthias Strauch pour un niveau de congruence $k$ quelconque. Comme application, nous en déduisons que les modules coadmissibles à connexions intégrables sont de longueurs finies toujours lorsque $𝔛$ est une courbe formelle.

Let $𝔛$ be a formal smooth curve over a complete discrete valuation ring $𝒱$ of mixed characteristic $(0, p)$ . Let ${\hat{𝒟}}_{𝔛, ℚ}^{(0)}$ be the sheaf of crystalline differential operators of level 0 (i.e. generated by the derivations). In this situation, Garnier proved that holonomic ${\hat{𝒟}}_{𝔛, ℚ}^{(0)}$ -modules as defined by Berthelot have finite length. In this article, we address this question for the sheaves ${\hat{𝒟}}_{𝔛, k, ℚ}^{(0)}$ of congruence level $k$ defined by Christine Huyghe, Tobias Schmidt and Matthias Strauch. Using the same strategy as Garnier, we prove that holonomic ${\hat{𝒟}}_{𝔛, k, ℚ}^{(0)}$ -modules have finite length. We finally give an application to coadmissible modules by proving that coadmissible modules with integrable connection over curves have finite length.

Reçu le : 2023-03-19
Révisé le : 2023-12-04
Accepté le : 2024-01-26
Publié le : 2025-03-31

DOI : 10.5802/jtnb.1299

Classification : 14G22, 14F10, 16S32
Mots-clés : Arithmetic geometry, Analytic rigid geometry, Formal scheme, Arithmetic

D

-modules, Characteristic variety, Holonomicity, Coadmissible modules

Affiliations des auteurs :

Raoul Hallopeau ¹

¹ Irma, Université de Strasbourg 7 rue René Descartes 67000 Strasbourg, France

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Raoul Hallopeau. $\widehat{\mathcal{D}}^{(0)}_{\mathfrak{X}, k, \mathbb{Q}}$-modules holonomes sur une courbe formelle. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 3, pp. 869-917. doi : 10.5802/jtnb.1299. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1299/

Bibliographie
Cité par

[1] Konstantin Ardakov; Andreas Bode; Simon Wadsley $\hat{𝒟}$ -modules on rigid analytic spaces III : Weak holonomicity and operations, Compos. Math., Volume 157 (2021) no. 12, pp. 2553-2584 | DOI | MR | Zbl

[2] Pierre Berthelot $𝒟$ -modules arithmétiques I. Opérateurs différentiels de niveau fini, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 29 (1996) no. 2, pp. 185-272 | DOI | MR | Zbl

[3] Pierre Berthelot Introduction à la théorie arithmétique des $𝒟$ -modules, Cohomologies $p$ -adiques et applications arithmétiques (II) (Astérisque), Volume 279, Société Mathématique de France, 2002, pp. 1-80 | Zbl

[4] Laurent Garnier Théorèmes de division sur ${\hat{D}}^{(0)}$ et applications, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 123 (1995) no. 4, pp. 547-589 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[5] Raoul Hallopeau Microlocalisation des modules coadmissibles sur une courbe formelle (2023) (https://hal.science/hal-03975658)

[6] Ryoshi Hotta; Toshiyuki Tanisaki $D$ -modules, perverse sheaves, and representation theory, Progress in Mathematics, 236, Springer, 2007, x+407 pages

[7] Christine Huyghe; Tobias Schmidt; Matthias Strauch Arithmetic structures for differential operators on formal schemes, Nagoya Math. J., Volume 243 (2021), pp. 157-204 | DOI | MR | Zbl

[8] Christine Huyghe; Tobias Schmidt; Matthias Strauch Arithmetic differential operators with congruence level structures : First results and examples, J. Number Theory, Volume 237 (2022), pp. 332-352 | DOI | MR | Zbl

[9] Anton Leykin Algorithmic proofs of two theorems of Stafford, J. Symb. Comput., Volume 38 (2004) no. 6, pp. 1535-1550 | DOI | MR | Zbl

[10] Philippe Maisonobe Germes de $𝒟$ -modules à une variable et leurs solutions, dans Introduction à la théorie algébrique des systèmes différentiels p.97-146, Travaux en Cours, 34, Hermann, 1988 | MR

[11] Peter Schneider; Jeremy Teitelbaum Algebras of $p$ -adic distributions and admissible representations, Invent. Math., Volume 153 (2003) no. 1, pp. 145-196 | DOI | MR | Zbl

[12] Anne Virrion Dualité locale et holonomie pour les $𝔻$ -modules arithmétiques, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 128 (2000) no. 1, pp. 1-68 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :