This paper uses W. M. Schmidt’s idea formulated in 1967 to generalise the classical theory of Diophantine approximation to subspaces of . Given two subspaces of , and of respective dimensions and , with , the proximity between and is measured by canonical angles ; we set . If is a rational subspace, its complexity is measured by its height . We denote by the exponent of approximation defined as the upper bound (possibly equal to ) of the set of such that for infinitely many rational subspaces of dimension , the inequality holds. We are interested in the minimal value taken by when ranges through the set of subspaces of dimension of such that for all rational subspaces of dimension one has . We show that if is included in a rational subspace of dimension , its exponent in is the same as its exponent in via a rational isomorphism . This allows us to deduce new upper bounds for . We also study the values taken by when is a subspace of satisfying for all rational subspaces of dimension .
Cet article reprend l’idée énoncée par W. M. Schmidt en 1967, généralisant l’approximation diophantienne classique à des sous-espaces vectoriels de . Étant donné deux sous-espaces vectoriels de , et de dimensions respectives et , avec , la proximité entre et est mesurée par angles canoniques ; on pose . Si est un sous-espace vectoriel rationnel, sa complexité est mesurée par sa hauteur . On note l’exposant d’approximation défini comme la borne supérieure (éventuellement égale à ) de l’ensemble des tels que l’inégalité soit vérifiée pour une infinité de sous-espaces vectoriels rationnels de dimension . On s’intéresse à la valeur minimale que prend quand décrit l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension de tels pour tout sous-espace vectoriel rationnel de dimension , on ait . On montre que si est inclus dans un sous-espace vectoriel rationnel de dimension , son exposant dans est le même que son exposant dans via un isomorphisme rationnel . Ceci permet de déduire de nouvelles majorations de . On étudie aussi les valeurs prises par quand est un sous-espace vectoriel de vérifiant pour tout sous-espace rationnel de dimension .
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Keywords: Diophantine approximation, approximation exponents, rational subspaces
@article{JTNB_2022__34_3_827_0, author = {Elio Joseph}, title = {Upper bounds and spectrum for approximation exponents for subspaces of $\protect \protect \mathbb{R}^n$}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {827--850}, publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux}, volume = {34}, number = {3}, year = {2022}, doi = {10.5802/jtnb.1230}, language = {en}, url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1230/} }
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Elio Joseph. Upper bounds and spectrum for approximation exponents for subspaces of $\protect \protect \mathbb{R}^n$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 3, pp. 827-850. doi : 10.5802/jtnb.1230. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1230/
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