Upper bounds and spectrum for approximation exponents for subspaces of n
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 3, pp. 827-850.

This paper uses W. M. Schmidt’s idea formulated in 1967 to generalise the classical theory of Diophantine approximation to subspaces of n . Given two subspaces of n , A and B of respective dimensions d and e, with d+en, the proximity between A and B is measured by t=min(d,e) canonical angles 0θ 1 θ t π/2; we set ψ j (A,B)=sinθ j . If B is a rational subspace, its complexity is measured by its height H(B)=covol(B n ). We denote by μ n (A|e) j the exponent of approximation defined as the upper bound (possibly equal to +) of the set of β>0 such that for infinitely many rational subspaces B of dimension e, the inequality ψ j (A,B)H(B) -β holds. We are interested in the minimal value μ ˚ n (d|e) j taken by μ n (A|e) j when A ranges through the set of subspaces of dimension d of n such that for all rational subspaces B of dimension e one has dim(AB)<j. We show that if A is included in a rational subspace F of dimension k, its exponent in n is the same as its exponent in k via a rational isomorphism F k . This allows us to deduce new upper bounds for μ ˚ n (d|e) j . We also study the values taken by μ n (A|e) e when A is a subspace of n satisfying dim(AB)<e for all rational subspaces B of dimension e.

Cet article reprend l’idée énoncée par W. M. Schmidt en 1967, généralisant l’approximation diophantienne classique à des sous-espaces vectoriels de n . Étant donné deux sous-espaces vectoriels de n , A et B de dimensions respectives d et e, avec d+en, la proximité entre A et B est mesurée par t=min(d,e) angles canoniques 0θ 1 θ t π/2 ; on pose ψ j (A,B)=sinθ j . Si B est un sous-espace vectoriel rationnel, sa complexité est mesurée par sa hauteur H(B)=covol(B n ). On note μ n (A|e) j l’exposant d’approximation défini comme la borne supérieure (éventuellement égale à +) de l’ensemble des β>0 tels que l’inégalité ψ j (A,B)H(B) -β soit vérifiée pour une infinité de sous-espaces vectoriels rationnels B de dimension e. On s’intéresse à la valeur minimale μ ˚ n (d|e) j que prend μ n (A|e) j quand A décrit l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension d de n tels pour tout sous-espace vectoriel rationnel B de dimension e, on ait dim(AB)<j. On montre que si A est inclus dans un sous-espace vectoriel rationnel F de dimension k, son exposant dans n est le même que son exposant dans k via un isomorphisme rationnel F k . Ceci permet de déduire de nouvelles majorations de μ ˚ n (d|e) j . On étudie aussi les valeurs prises par μ n (A|e) e quand A est un sous-espace vectoriel de n vérifiant dim(AB)<e pour tout sous-espace rationnel B de dimension e.

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DOI: 10.5802/jtnb.1230
Classification: 11J13, 11J25
Keywords: Diophantine approximation, approximation exponents, rational subspaces
Elio Joseph 1

1 10 rue de Paris 91 400 Saclay, France
License: CC-BY-ND 4.0
Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights
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Elio Joseph. Upper bounds and spectrum for approximation exponents for subspaces of $\protect \protect \mathbb{R}^n$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 3, pp. 827-850. doi : 10.5802/jtnb.1230. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1230/

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