Upper bounds and spectrum for approximation exponents for subspaces of $\protect \protect \mathbb{R}^n$

Elio Joseph

doi:10.5802/jtnb.1230

Upper bounds and spectrum for approximation exponents for subspaces of

ℝ^{n}

Elio Joseph ¹

¹ 10 rue de Paris 91 400 Saclay, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 827-850.

Résumé
Abstract

Cet article reprend l’idée énoncée par W. M. Schmidt en 1967, généralisant l’approximation diophantienne classique à des sous-espaces vectoriels de $ℝ^{n}$ . Étant donné deux sous-espaces vectoriels de $ℝ^{n}$ , $A$ et $B$ de dimensions respectives $d$ et $e$ , avec $d + e ⩽ n$ , la proximité entre $A$ et $B$ est mesurée par $t = min (d, e)$ angles canoniques $0 ⩽ θ_{1} ⩽ \dots ⩽ θ_{t} ⩽ π / 2$ ; on pose $ψ_{j} (A, B) = sin θ_{j}$ . Si $B$ est un sous-espace vectoriel rationnel, sa complexité est mesurée par sa hauteur $H (B) = covol (B \cap ℤ^{n})$ . On note $μ_{n} {(A | e)}_{j}$ l’exposant d’approximation défini comme la borne supérieure (éventuellement égale à $+ \infty$ ) de l’ensemble des $β > 0$ tels que l’inégalité $ψ_{j} (A, B) ⩽ H {(B)}^{- β}$ soit vérifiée pour une infinité de sous-espaces vectoriels rationnels $B$ de dimension $e$ . On s’intéresse à la valeur minimale ${\overset{˚}{μ}}_{n} {(d | e)}_{j}$ que prend $μ_{n} {(A | e)}_{j}$ quand $A$ décrit l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $d$ de $ℝ^{n}$ tels pour tout sous-espace vectoriel rationnel $B$ de dimension $e$ , on ait $dim (A \cap B) < j$ . On montre que si $A$ est inclus dans un sous-espace vectoriel rationnel $F$ de dimension $k$ , son exposant dans $ℝ^{n}$ est le même que son exposant dans $ℝ^{k}$ via un isomorphisme rationnel $F \to ℝ^{k}$ . Ceci permet de déduire de nouvelles majorations de ${\overset{˚}{μ}}_{n} {(d | e)}_{j}$ . On étudie aussi les valeurs prises par $μ_{n} {(A | e)}_{e}$ quand $A$ est un sous-espace vectoriel de $ℝ^{n}$ vérifiant $dim (A \cap B) < e$ pour tout sous-espace rationnel $B$ de dimension $e$ .

This paper uses W. M. Schmidt’s idea formulated in 1967 to generalise the classical theory of Diophantine approximation to subspaces of $ℝ^{n}$ . Given two subspaces of $ℝ^{n}$ , $A$ and $B$ of respective dimensions $d$ and $e$ , with $d + e ⩽ n$ , the proximity between $A$ and $B$ is measured by $t = min (d, e)$ canonical angles $0 ⩽ θ_{1} ⩽ \dots ⩽ θ_{t} ⩽ π / 2$ ; we set $ψ_{j} (A, B) = sin θ_{j}$ . If $B$ is a rational subspace, its complexity is measured by its height $H (B) = covol (B \cap ℤ^{n})$ . We denote by $μ_{n} {(A | e)}_{j}$ the exponent of approximation defined as the upper bound (possibly equal to $+ \infty$ ) of the set of $β > 0$ such that for infinitely many rational subspaces $B$ of dimension $e$ , the inequality $ψ_{j} (A, B) ⩽ H {(B)}^{- β}$ holds. We are interested in the minimal value ${\overset{˚}{μ}}_{n} {(d | e)}_{j}$ taken by $μ_{n} {(A | e)}_{j}$ when $A$ ranges through the set of subspaces of dimension $d$ of $ℝ^{n}$ such that for all rational subspaces $B$ of dimension $e$ one has $dim (A \cap B) < j$ . We show that if $A$ is included in a rational subspace $F$ of dimension $k$ , its exponent in $ℝ^{n}$ is the same as its exponent in $ℝ^{k}$ via a rational isomorphism $F \to ℝ^{k}$ . This allows us to deduce new upper bounds for ${\overset{˚}{μ}}_{n} {(d | e)}_{j}$ . We also study the values taken by $μ_{n} {(A | e)}_{e}$ when $A$ is a subspace of $ℝ^{n}$ satisfying $dim (A \cap B) < e$ for all rational subspaces $B$ of dimension $e$ .

Reçu le : 2021-06-11
Révisé le : 2022-01-04
Accepté le : 2022-01-30
Publié le : 2023-01-27

DOI : 10.5802/jtnb.1230

Classification : 11J13, 11J25
Mots clés : Diophantine approximation, approximation exponents, rational subspaces

Affiliations des auteurs :

Elio Joseph ¹

¹ 10 rue de Paris 91 400 Saclay, France

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Elio Joseph. Upper bounds and spectrum for approximation exponents for subspaces of $\protect \protect \mathbb{R}^n$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 827-850. doi : 10.5802/jtnb.1230. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1230/

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