Factoring Gleason polynomials modulo 2

Xavier Buff; William Floyd; Sarah Koch; Walter Parry

doi:10.5802/jtnb.1228

Xavier Buff ¹ ; William Floyd ² ; Sarah Koch ³ ; Walter Parry ⁴

¹ Institut de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier 118, route de Narbonne 31062 Toulouse Cedex, France
² Department of Mathematics Virginia Tech Blacksburg, VA 2406, U.S.A.
³ Department of Mathematics University of Michigan Ann Arbor, MI 48109, U.S.A.
⁴ Department of Mathematics and Statistics Eastern Michigan University Ypsilanti, MI 48197, U.S.A.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 787-812.

Résumé
Abstract

Parmi les composantes connexes de l’intérieur de l’ensemble de Mandelbrot, on trouve celles qui sont hyperboliques. Ces composantes correspondent aux paramètres $c \in ℂ$ pour lesquels le point critique $z_{0} = 0$ du polynôme $f_{c} : z \mapsto z^{2} + c$ est attiré par un cycle attractif. Chaque composante hyperbolique contient un unique centre ; c’est le paramètre $c$ pour lequel $z_{0}$ est périodique. Étant donné un entier $n \geq 1$ , le polynôme de Gleason de période $n$ est le polynôme unitaire $G_{n} \in ℤ [c]$ dont les racines sont précisément les centres des composantes hyperboliques de période $n$ . On ne sait pas si $G_{n}$ se factorise sur $ℤ$ . Dans cet article, nous factorisons $G_{n}$ modulo $2$ . Nous prouvons le fait remarquable suivant : le nombre de facteurs irréductibles de $G_{n}$ modulo $2$ est égal au nombre de racines réelles de $G_{n}$ .

Among the connected components of the interior of the Mandelbrot set are those that are hyperbolic. These components consist of parameters $c \in ℂ$ for which the critical point $z_{0} = 0$ of $f_{c} : z \mapsto z^{2} + c$ is attracted to an attracting periodic cycle. Every hyperbolic component contains a unique center; that is, a parameter $c$ for which the critical point $z_{0}$ is periodic. For a given $n \geq 1$ , the Gleason polynomial for period $n$ is the monic polynomial $G_{n} \in ℤ [c]$ whose roots are exactly the centers of the hyperbolic components of period $n$ . It is unknown if $G_{n}$ factors over $ℤ$ . In this article, we factor $G_{n}$ modulo $2$ . We prove the following remarkable fact: the number of irreducible factors of $G_{n}$ modulo $2$ is equal to the number of real roots of $G_{n}$ .

Reçu le : 2021-05-16
Révisé le : 2022-08-23
Accepté le : 2022-10-21
Publié le : 2023-01-27

DOI : 10.5802/jtnb.1228

Classification : 37F10, 37P35, 37P05
Mots-clés : Mandelbrot set, hyperbolic component, Gleason polynomial

Affiliations des auteurs :

Xavier Buff ¹ ; William Floyd ² ; Sarah Koch ³ ; Walter Parry ⁴

¹ Institut de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier 118, route de Narbonne 31062 Toulouse Cedex, France
² Department of Mathematics Virginia Tech Blacksburg, VA 2406, U.S.A.
³ Department of Mathematics University of Michigan Ann Arbor, MI 48109, U.S.A.
⁴ Department of Mathematics and Statistics Eastern Michigan University Ypsilanti, MI 48197, U.S.A.

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Xavier Buff; William Floyd; Sarah Koch; Walter Parry. Factoring Gleason polynomials modulo 2. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 787-812. doi : 10.5802/jtnb.1228. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1228/

Bibliographie
Cité par

[1] Thierry Bousch Sur quelques problèmes de dynamique holomorphe, Ph. D. Thesis, Université de Paris-Sud, Orsay (1992)

[2] Xavier Buff; Adam L. Epstein; Sarah Koch Prefixed curves in moduli space (2018) (https://arxiv.org/abs/1806.11221)

[3] Vefa Goksel A note on Misiurewicz polynomials, J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 32 (2020) no. 2, pp. 373-385 | DOI | Numdam | Zbl

[4] Vefa Goksel On the orbit of a post-critically finite polynomial of the form $x^{d} + c$ , Funct. Approximatio, Comment. Math., Volume 62 (2020) no. 1, pp. 95-104 | Zbl

[5] Morton Lutzky Counting stable cycles in unimodal iterations, Phys. Lett., A, Volume 131 (1988) no. 4, pp. 248-250 | DOI

[6] Morton Lutzky Counting hyperbolic components of the Mandelbrot set, Phys. Lett., A, Volume 177 (1993) no. 4, pp. 338-340 | DOI

[7] John Milnor Arithmetic of unicritical polynomial maps, Frontiers in complex dynamics (Princeton Mathematical Series), Volume 51, Princeton University Press, 2012, pp. 15-23 | Zbl

[8] John Milnor; William Thurston On iterated maps of the interval, Dynamical systems (Lecture Notes in Mathematics), Volume 1342, Springer, 1986, p. 1986-87

Cité par Sources :