Among the connected components of the interior of the Mandelbrot set are those that are hyperbolic. These components consist of parameters for which the critical point of is attracted to an attracting periodic cycle. Every hyperbolic component contains a unique center; that is, a parameter for which the critical point is periodic. For a given , the Gleason polynomial for period is the monic polynomial whose roots are exactly the centers of the hyperbolic components of period . It is unknown if factors over . In this article, we factor modulo . We prove the following remarkable fact: the number of irreducible factors of modulo is equal to the number of real roots of .
Parmi les composantes connexes de l’intérieur de l’ensemble de Mandelbrot, on trouve celles qui sont hyperboliques. Ces composantes correspondent aux paramètres pour lesquels le point critique du polynôme est attiré par un cycle attractif. Chaque composante hyperbolique contient un unique centre ; c’est le paramètre pour lequel est périodique. Étant donné un entier , le polynôme de Gleason de période est le polynôme unitaire dont les racines sont précisément les centres des composantes hyperboliques de période . On ne sait pas si se factorise sur . Dans cet article, nous factorisons modulo . Nous prouvons le fait remarquable suivant : le nombre de facteurs irréductibles de modulo est égal au nombre de racines réelles de .
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Keywords: Mandelbrot set, hyperbolic component, Gleason polynomial
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Xavier Buff; William Floyd; Sarah Koch; Walter Parry. Factoring Gleason polynomials modulo 2. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 3, pp. 787-812. doi : 10.5802/jtnb.1228. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1228/
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Cited by Sources: