Local constancy for reductions of two-dimensional crystalline representations

Emiliano Torti

doi:10.5802/jtnb.1205

Emiliano Torti ¹

¹ 6 avenue de la Fonte Esch-sur-Alzette, Luxembourg

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 2, pp. 345-370.

Abstract
Résumé

We prove the existence of local constancy phenomena for reductions in a general (odd) prime power setting of two-dimensional irreducible crystalline representations of $Gal ({\bar{ℚ}}_{p} / ℚ_{p})$ . These representations depend on two parameters: a trace $a_{p}$ and a weight $k$ . They appear for example in the context of classical modular forms of tame level. We find an (explicit) local constancy result with respect to $a_{p}$ using Fontaine’s theory of $(φ, Γ)$ -modules, its crystalline refinement due to Berger via Wach modules and their continuity properties. The local constancy result with respect to $k$ (for $a_{p} \neq 0$ ) will follow from a local study of Colmez’s rigid analytic space parametrizing trianguline representations. This work extends some results of Berger obtained in the residually semi-simple case.

Nous prouvons l’existence du phénomène de constance locale pour les réductions modulo $p^{n}$ ( $p$ impair) des représentations de $Gal ({\bar{ℚ}}_{p} / ℚ_{p})$ de dimension 2 qui sont cristallines et irréductibles. Ces représentations dépendent de deux paramètres : une trace $a_{p}$ et un poids $k$ . Par exemple, elles apparaissent comme les représentations attachées aux formes modulaires classiques dont le niveau n’est pas divisible par $p$ . Nous trouvons un résultat de constance locale (explicite) par rapport à $a_{p}$ , en utilisant la théorie des $(φ, Γ)$ -modules de Fontaine, son raffinement cristallin via les modules de Wach par Berger et leurs propriétés de continuité. Le résultat de constance locale par rapport à $k$ (pour $a_{p} \neq 0$ ) découlera d’une étude locale de l’espace analytique rigide de Colmez qui paramétrise les représentations triangulines. Ce travail généralise certains résultats de Berger obtenus dans le cas résiduellement semi-simple.

Received: 2020-08-24
Revised: 2022-05-25
Accepted: 2022-07-02
Published online: 2022-10-24

DOI: 10.5802/jtnb.1205

Classification: 11F80, 11F70, 14G22, 13F20
Keywords: Integral p-adic Hodge Theory, Crystalline Representations, $(\varphi , \Gamma )$-modules

Author's affiliations:

Emiliano Torti ¹

¹ 6 avenue de la Fonte Esch-sur-Alzette, Luxembourg

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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Emiliano Torti. Local constancy for reductions of two-dimensional crystalline representations. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 2, pp. 345-370. doi : 10.5802/jtnb.1205. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1205/

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