Bad places for the approximation property for finite groups
Felipe Rivera-Mesas1
1 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad de Chile Santiago, Chile
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 1, pp. 237-249.

Given a number field k and a finite k-group G, the Tame Approximation Problem for G asks whether the restriction map H 1 (k,G)→∏ v∈Σ H 1 (k v ,G) is surjective for every finite set of places Σ⊆Ω k disjoint from Bad G , where Bad G is the finite set of places that either divides the order of G or ramifies in the minimal extension splitting G. In this paper we prove that the set Bad G is “sharp”. To achieve this we prove that there are finite abelian k-groups A where the map H 1 (k,A)→∏ v∈Σ 0 H 1 (k v ,A) is not surjective in a set Σ 0 ⊆Bad A with particular properties, namely Σ 0 is the set of places that do not divide the order of A and ramify in the minimal extension splitting A.

Pour un corps de nombres k et un k-groupe fini G, le problème d’approximation modérée pour G est le suivant : est-ce que la restriction H 1 (k,G)→∏ v∈Σ H 1 (k v ,G) est surjective pour tout ensemble fini de places Σ⊆Ω k disjoint de Bad G , où Bad G est l’ensemble de places de k qui divisent l’ordre de G ou se ramifient dans la plus petite extension de k qui trivialise G ? Dans cet article, nous démontrons que l’ensemble Bad G est « optimal ». Pour ce faire, nous démontrons l’existence de k-groupes finis abéliens A tels que la restriction H 1 (k,A)→∏ v∈Σ 0 H 1 (k v ,A) n’est pas surjective pour un ensemble Σ 0 ⊆Bad A avec des propriétés particulières, à savoir Σ 0 est l’ensemble de places qui ne divisent pas l’ordre de A et se ramifient dans la plus petite extension de k qui trivialise A.

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DOI: 10.5802/jtnb.1199
Classification: 11S25, 11R34
Keywords: Galois cohomology, weak approximation, Tame Approximation Problem

Felipe Rivera-Mesas 1

1 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad de Chile Santiago, Chile
License: CC-BY-ND 4.0
Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights 
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Felipe Rivera-Mesas. Bad places for the approximation property for finite groups. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 1, pp. 237-249. doi : 10.5802/jtnb.1199. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1199/

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