Bad places for the approximation property for finite groups

Felipe Rivera-Mesas

doi:10.5802/jtnb.1199

Felipe Rivera-Mesas ¹

¹ Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad de Chile Santiago, Chile

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 1, pp. 237-249.

Abstract (VO)
Résumé

Given a number field $k$ and a finite $k$ -group $G$ , the Tame Approximation Problem for $G$ asks whether the restriction map $H^{1} (k, G) \to \prod_{v \in Σ} H^{1} (k_{v}, G)$ is surjective for every finite set of places $Σ \subseteq Ω_{k}$ disjoint from ${Bad}_{G}$ , where ${Bad}_{G}$ is the finite set of places that either divides the order of $G$ or ramifies in the minimal extension splitting $G$ . In this paper we prove that the set ${Bad}_{G}$ is “sharp”. To achieve this we prove that there are finite abelian $k$ -groups $A$ where the map $H^{1} (k, A) \to \prod_{v \in Σ_{0}} H^{1} (k_{v}, A)$ is not surjective in a set $Σ_{0} \subseteq {Bad}_{A}$ with particular properties, namely $Σ_{0}$ is the set of places that do not divide the order of $A$ and ramify in the minimal extension splitting $A$ .

Pour un corps de nombres $k$ et un $k$ -groupe fini $G$ , le problème d’approximation modérée pour $G$ est le suivant : est-ce que la restriction $H^{1} (k, G) \to \prod_{v \in Σ} H^{1} (k_{v}, G)$ est surjective pour tout ensemble fini de places $Σ \subseteq Ω_{k}$ disjoint de ${Bad}_{G}$ , où ${Bad}_{G}$ est l’ensemble de places de $k$ qui divisent l’ordre de $G$ ou se ramifient dans la plus petite extension de $k$ qui trivialise $G$ ? Dans cet article, nous démontrons que l’ensemble ${Bad}_{G}$ est « optimal ». Pour ce faire, nous démontrons l’existence de $k$ -groupes finis abéliens $A$ tels que la restriction $H^{1} (k, A) \to \prod_{v \in Σ_{0}} H^{1} (k_{v}, A)$ n’est pas surjective pour un ensemble $Σ_{0} \subseteq {Bad}_{A}$ avec des propriétés particulières, à savoir $Σ_{0}$ est l’ensemble de places qui ne divisent pas l’ordre de $A$ et se ramifient dans la plus petite extension de $k$ qui trivialise $A$ .

Reçu le : 2020-09-15
Révisé le : 2020-12-22
Accepté le : 2021-04-19
Publié le : 2022-07-07

DOI : 10.5802/jtnb.1199

Classification : 11S25, 11R34
Mots-clés : Galois cohomology, weak approximation, Tame Approximation Problem

Affiliations des auteurs :

Felipe Rivera-Mesas ¹

¹ Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad de Chile Santiago, Chile

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Felipe Rivera-Mesas. Bad places for the approximation property for finite groups. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 1, pp. 237-249. doi : 10.5802/jtnb.1199. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1199/

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