Some unlikely intersections between the Torelli locus and Newton strata in 𝒜 g
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 33 (2021) no. 1, pp. 237-250.

Soit p un nombre premier impair. Quels sont les polygones de Newton possibles pour les courbes en caractéristique p ? Autrement dit, quelles sont les strates de Newton qui s’intersectent avec le lieu de Torelli dans 𝒜 g  ? Nous étudions les polygones de Newton de certaines courbes équipées d’une action du groupe fini /p. Plusieurs de ces courbes fournissent des exemples d’intersections improbables entre le lieu de Torelli et la stratification de Newton dans 𝒜 g . Voici un exemple qui présente un intérêt particulier : en fixant un genre g>1, nous montrons que pour tout k tel que 2g 3-2p(p-1) 32k(p-1), il existe une courbe C de genre g telle que les pentes de Newton de C sont {0,1} g-k(p-1) {1 2} 2k(p-1) . Cela confirme une conjecture d’Oort selon laquelle l’amalgamation des polygones de Newton de deux courbes est aussi le polygone de Newton d’une courbe. Nous construisons aussi quelques familles de courbes {C g } g1 de genre g, dont les polygones asymptotiques de Newton sont intéressants. Par exemple, nous construisons une famille de courbes dont le polygone asymptotique de Newton est minoré par y=x 2 4g. Les outils principaux de l’article sont un résultat « polygone de Newton est situé au-dessus du polygone de Hodge » pour les courbes équipées d’une action de /p, dû à l’auteur, et un travail récent de Booher–Pries qui montre que cette borne de Hodge est atteinte.

Let p be an odd prime. What are the possible Newton polygons for a curve in characteristic p? Equivalently, which Newton strata intersect the Torelli locus in 𝒜 g ? In this note, we study the Newton polygons of certain curves with /p-actions. Many of these curves exhibit unlikely intersections between the Torelli locus and the Newton stratification in 𝒜 g . Here is one example of particular interest: fix a genus g. We show that for any k with 2g 3-2p(p-1) 32k(p-1), there exists a curve of genus g whose Newton polygon has slopes {0,1} g-k(p-1) {1 2} 2k(p-1) . This provides evidence for Oort’s conjecture that the amalgamation of the Newton polygons of two curves is again the Newton polygon of a curve. We also construct families of curves {C g } g1 , where C g is a curve of genus g, whose Newton polygons have interesting asymptotic properties. For example, we construct a family of curves whose Newton polygons are asymptotically bounded below by the graph y=x 2 4g. The proof uses a Newton-over-Hodge result for /p-covers of curves due to the author, in addition to recent work of Booher–Pries on the realization of this Hodge bound.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.1159
Classification : 11G20,  11M38,  14K10
Mots clés : Newton polygons of curves, Artin–Schreier curves, Torelli locus
@article{JTNB_2021__33_1_237_0,
     author = {Joe Kramer-Miller},
     title = {Some unlikely intersections between the {Torelli} locus and {Newton} strata in $\protect \mathcal{A}_g$},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {237--250},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {33},
     number = {1},
     year = {2021},
     doi = {10.5802/jtnb.1159},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1159/}
}
Joe Kramer-Miller. Some unlikely intersections between the Torelli locus and Newton strata in $\protect \mathcal{A}_g$. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 33 (2021) no. 1, pp. 237-250. doi : 10.5802/jtnb.1159. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1159/

[1] Jeffrey D. Achter; Rachel Pries Generic Newton polygons for curves of given p-rank, Algebraic curves and finite fields (Radon Series on Computational and Applied Mathematics), Volume 16, Walter de Gruyter, 2014, pp. 1-21 | MR 3287680

[2] Régis Blache; Éric Férard Newton stratification for polynomials: the open stratum, J. Number Theory, Volume 123 (2007) no. 2, pp. 456-472 | Article | MR 2301225

[3] Jeremy Booher; Rachel Pries Realizing Artin–Schreier covers of curves with minimal Newton polygons in positive characteristic, J. Number Theory, Volume 214 (2020), pp. 240-250 | Article

[4] Irene I. Bouw The p-rank of ramified covers of curves, Compos. Math., Volume 126 (2001) no. 3, pp. 295-322 | Article | MR 1834740

[5] Gunther Cornelissen; Frans Oort Problems from the workshop on Automorphisms of Curves (Leiden, August, 2004), Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, Volume 113 (2005), pp. 129-177 | MR 2168985 | Zbl 1167.14312

[6] Richard Crew Etale p-covers in characteristic p, Compos. Math., Volume 52 (1984) no. 1, pp. 31-45 | MR 742696

[7] Pierre Deligne; Bernard Malgrange; Jean-Pierre Ramis Singularités irrégulières. Correspondance et documents, Documents Mathématiques, 5, Société Mathématique de France, 2007, xii+188 pages | MR 2387754

[8] Gerard van der Geer; Marcel van der Vlugt On the existence of supersingular curves of given genus, J. Reine Angew. Math., Volume 458 (1995), pp. 53-61 | MR 1310953

[9] Nicholas Katz Slope filtration of F-crystals, Groupes formels, représentations galoisiennes et cohomologie des variétés de caractéristique positive. I (Astérisque), Volume 63, Société Mathématique de France, 1979, pp. 113-164

[10] Joe Kramer-Miller p-adic estimates of exponential sums on curves (to appear in Algebra Number Theory)

[11] Wanlin Li; Elena Mantovan; Rachel Pries; Yunqing Tang Newton polygon stratification of the Torelli locus in PEL-type Shimura varieties (2018) (https://arxiv.org/abs/1811.00604)

[12] Wanlin Li; Elena Mantovan; Rachel Pries; Yunqing Tang Newton polygons arising from special families of cyclic covers of the projective line, Res. Number Theory, Volume 5 (2019) no. 1, 12, 31 pages | Article | MR 3897613

[13] Chunlei Liu; Dasheng Wei The L-functions of Witt coverings, Math. Z., Volume 255 (2007) no. 1, pp. 95-115 | Article | MR 2262723

[14] Frans Oort Newton polygon strata in the moduli space of abelian varieties, Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999) (Progress in Mathematics), Volume 195, Birkhäuser, 2001, pp. 417-440 | Article | MR 1827028

[15] Rachel Pries Current results on Newton polygons of curves, Open problems in arithmetic algebraic geometry (Advanced Lectures in Mathematics (ALM)), Volume 46, International Press, 2019, pp. 179-207 | MR 3971184

[16] Philippe Robba Index of p-adic differential operators. III. Application to twisted exponential sums, Cohomologie p-adique (Astérisque), Volume 119-120, Société Mathématique de France, 1984, pp. 191-266 | MR 773094

[17] Hui June Zhu p-adic variation of L functions of one variable exponential sums. I, Am. J. Math., Volume 125 (2003) no. 3, pp. 669-690 | MR 1981038