(ϕ,τ)-modules différentiels et représentations potentiellement semi-stables
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 33 (2021) no. 1, pp. 139-195.

Soit K un corps p-adique et soit V une représentation p-adique de 𝒢 K =Gal(K ¯/K). La surconvergence des (ϕ,τ)-modules nous permet d’attacher à V un ϕ-module différentiel à connexion D τ,rig (V) sur l’anneau de Robba B τ,rig,K . On montre dans cet article comment retrouver les invariants D cris (V) et D st (V) à partir de D τ,rig (V), et comment caractériser les représentations potentiellement semi-stables, ainsi que celles de E-hauteur finie, à partir de la connexion.

Let K be a p-adic field and let V be a p-adic representation of G K =Gal(K ¯/K). The overconvergence of (ϕ,τ)-modules allows us to attach to V a differential ϕ-module D τ,rig (V) on the Robba ring B τ,rig,K that comes equipped with a connection. We show in this paper how to recover the invariants D cris (V) and D st (V) from D τ,rig (V), and give a characterization of both potentially semi-stable representations of 𝒢 K and finite E-height representations in terms of the connection operator.

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DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.1156
Classification : 11S20,  11F80,  11F85,  22E00,  13F35,  13J05
Mots clés : (ϕ,τ)-modules, représentations p-adiques, surconvergence, modules de Breuil–Kisin, théorie de Hodge p-adique, vecteurs localement analytiques, représentations potentiellement semi-stables, représentations de E-hauteur finie
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     author = {L\'eo Poyeton},
     title = {$(\phi ,\tau )$-modules diff\'erentiels et repr\'esentations potentiellement semi-stables},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {139--195},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
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Léo Poyeton. $(\phi ,\tau )$-modules différentiels et représentations potentiellement semi-stables. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 33 (2021) no. 1, pp. 139-195. doi : 10.5802/jtnb.1156. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1156/

[1] Yves André Filtrations de type Hasse–Arf et monodromie p-adique, Invent. Math., Volume 148 (2002) no. 2, pp. 285-317 | Zbl 1081.12003

[2] Laurent Berger Représentations p-adiques et équations différentielles, Invent. Math., Volume 148 (2002) no. 2, pp. 219-284

[3] Laurent Berger Équations différentielles p-adiques et (φ, N)-modules filtrés, Représentation p-adiques de groupes p-adiques I. Représentations galoisiennes et (φ,Γ)-modules (Astérisque), Volume 319, Société Mathématique de France, 2008, pp. 13-38

[4] Laurent Berger Multivariable Lubin-Tate (φ,Γ)-modules and filtered φ-modules, Math. Res. Lett., Volume 20 (2013) no. 3, pp. 409-428

[5] Laurent Berger Multivariable (φ,Γ)-modules and locally analytic vectors, Duke Math. J., Volume 165 (2016) no. 18, pp. 3567-3595

[6] Laurent Berger; Pierre Colmez Théorie de Sen et vecteurs localement analytiques, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 49 (2016) no. 4, pp. 947-970

[7] Christophe Breuil Schémas en groupes et corps de normes (1998) (article non publié)

[8] Xavier Caruso Représentations galoisiennes p-adiques et (φ,τ)-modules, Duke Math. J., Volume 162 (2013) no. 13, pp. 2525-2607

[9] Frédéric Cherbonnier Representations p-adiques surconvergentes (1996) (Ph. D. Thesis)

[10] Frédéric Cherbonnier; Pierre Colmez Théorie d’Iwasawa des représentations p-adiques d’un corps local, J. Am. Math. Soc., Volume 12 (1999) no. 1, pp. 241-268

[11] Pierre Colmez Représentations cristallines et représentations de hauteur finie, J. Reine Angew. Math., Volume 514 (1999), pp. 119-143

[12] Pierre Colmez Les conjectures de monodromie p-adiques, Séminaire Bourbaki. Volume 2001/2002 (Astérisque), Volume 290, Société Mathématique de France, 2001, pp. 53-101

[13] Pierre Colmez Espaces de Banach de dimension finie, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 1 (2002) no. 3, pp. 331-439

[14] Pierre Colmez; Jean-Marc Fontaine Construction des représentations p-adiques semi-stables, Invent. Math., Volume 140 (2000) no. 1, pp. 1-43

[15] Matthew Emerton Locally analytic vectors in representations of locally p-adic analytic groups, Memoirs of the American Mathematical Society, 1175, American Mathematical Society, 2017

[16] Matthew Emerton; Toby Gee Moduli stacks of étale (φ,Γ)-modules and the existence of crystalline lifts (2019) (https://arxiv.org/abs/1908.07185)

[17] Jean-Marc Fontaine Représentations p-adiques des corps locaux (1ère partie), The Grothendieck Festschrift (Progress in Mathematics), Volume 87, Springer, 1990, pp. 249-309 | Zbl 0743.11066

[18] Jean-Marc Fontaine Le corps des périodes p-adiques, Périodes p-adiques (Astérisque), Volume 223, Société Mathématique de France, 1994, pp. 59-102

[19] Jean-Marc Fontaine Représentations p-adiques semi-stables, Périodes p-adiques (Astérisque), Volume 223, Société Mathématique de France, 1994, pp. 113-184

[20] Hui Gao Breuil–kisin modules and integral p-adic hodge theory (2019) (https://arxiv.org/abs/2019)

[21] Hui Gao; Tong Liu Loose crystalline lifts and overconvergence of étale (φ,τ)-modules (2016) (https://arxiv.org/abs/1606.07216)

[22] Hui Gao; Léo Poyeton Locally analytic vectors and overconvergent (φ,τ)-modules (2018) (to appear in J. Inst. Math. Jussieu)

[23] Kiran S. Kedlaya A p-adic local monodromy theorem, Ann. Math., Volume 160 (2004) no. 1, pp. 93-184

[24] Kiran S. Kedlaya Slope filtrations revisited, Doc. Math., Volume 10 (2005), pp. 447-525 erratum in ibid. 12 (2007), p. 361–362

[25] Mark Kisin Crystalline representations and F-crystals, Algebraic geometry and number theory (Progress in Mathematics), Volume 253, Springer, 2006, pp. 459-496

[26] Mark Kisin; Wei Ren Galois representations and Lubin–Tate groups, Doc. Math., Volume 14 (2009), pp. 441-461

[27] Michel Lazard Les zéros des fonctions analytiques d’une variable sur un corps valué complet, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 14 (1962) no. 1, pp. 47-75

[28] Michel Lazard Groupes analytiques p-adiques, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 26 (1965), pp. 389-603

[29] Tong Liu On lattices in semi-stable representations : a proof of a conjecture of Breuil, Compos. Math., Volume 144 (2008) no. 1, pp. 61-88 | Zbl 1133.14020

[30] Tong Liu A note on lattices in semi-stable representations, Math. Ann., Volume 346 (2010) no. 1, pp. 117-138

[31] Tong Liu Compatibility of Kisin modules for different uniformizers, J. Reine Angew. Math., Volume 2018 (2018) no. 740, pp. 1-24 | Zbl 06902323

[32] Shigeki Matsuda Local indices of p-adic differential operators corresponding to Artin–Schreier–Witt coverings, Duke Math. J., Volume 77 (1995) no. 3, pp. 607-625

[33] Zoghman Mebkhout Analogue p-adique du théoreme de Turrittin et le théorème de la monodromie p-adique, Invent. Math., Volume 148 (2002) no. 2, pp. 319-351 | Zbl 1071.12004

[34] Léo Poyeton Extensions de Lie p-adiques et (φ,Γ)-modules (2019) (Ph. D. Thesis)

[35] Peter Schneider p-Adic Lie groups, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 344, Springer, 2011 | Zbl 1223.22008

[36] Peter Schneider; Jeremy Teitelbaum Locally analytic distributions and p-adic representation theory, with applications to GL 2 , J. Am. Math. Soc., Volume 15 (2002) no. 2, pp. 443-468 | Zbl 1028.11071

[37] John T. Tate p-divisible groups, Proceedings of a Conference on Local Fields, Springer, 1967, pp. 158-183 | Zbl 0155.00204

[38] Jean-Pierre Wintenberger Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux ; applications, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 16 (1983), pp. 59-89 | Zbl 0516.12015