Primitive roots for Pjateckii-Šapiro primes

Jyothsnaa Sivaraman

doi:10.5802/jtnb.1152

Jyothsnaa Sivaraman ¹

¹ University of Toronto, Toronto Ontario, Canada - M5T 3J1.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 33 (2021) no. 1, pp. 83-94.

Abstract (VO)
Résumé

For any non-integral positive real number $c$ , any sequence ${(⌊ n^{c} ⌋)}_{n}$ is called a Pjateckii-Šapiro sequence. Given a real number $c$ in the interval $(1, \frac{12}{11})$ , it is known that the number of primes in this sequence up to $x$ has an asymptotic formula. We would like to use the techniques of Gupta and Murty to study Artin’s problems for such primes. We will prove that even though the set of Pjateckii-Šapiro primes is of density zero for a fixed $c$ , one can show that there exist natural numbers which are primitive roots for infinitely many Pjateckii-Šapiro primes for any fixed $c$ in the interval $(1, \frac{\sqrt{77}}{7} - \frac{1}{4})$ .

Pour tout nombre réel positif non entier $c$ , la suite ${(⌊ n^{c} ⌋)}_{n}$ est appelée suite de Pjateckii-Šapiro. Étant donné un nombre réel $c$ dans l’intervalle $(1, \frac{11}{12})$ , on a une formule asymptotique pour le nombre de nombres premiers de cette suite qui sont au plus égaux à $x$ . Nous utilisons la méthode de Gupta et Murty pour étudier le problème d’Artin pour ces nombres premiers. Nous démontrons que, bien que l’ensemble de ces nombres premiers a une densité relative nulle pour $c$ donné, il existe des entiers positifs qui sont des racines primitives pour une infinité de nombres premiers de Pjateckii-Šapiro pour tout $c$ fixé dans l’intervalle $(1, \frac{\sqrt{77}}{7} - \frac{1}{4})$ .

Reçu le : 2020-01-26
Révisé le : 2021-01-16
Accepté le : 2021-02-01
Publié le : 2021-05-21

DOI : 10.5802/jtnb.1152

Classification : 11A07, 11N05, 11N35, 11N36
Mots-clés : Primitive roots, Pjateckii-Šapiro sequence, primes, sieve methods

Affiliations des auteurs :

Jyothsnaa Sivaraman ¹

¹ University of Toronto, Toronto Ontario, Canada - M5T 3J1.

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{JTNB_2021__33_1_83_0,
     author = {Jyothsnaa Sivaraman},
     title = {Primitive roots for {Pjateckii-\v{S}apiro} primes},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {83--94},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {33},
     number = {1},
     year = {2021},
     doi = {10.5802/jtnb.1152},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1152/}
}

TY  - JOUR
AU  - Jyothsnaa Sivaraman
TI  - Primitive roots for Pjateckii-Šapiro primes
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2021
SP  - 83
EP  - 94
VL  - 33
IS  - 1
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1152/
DO  - 10.5802/jtnb.1152
LA  - en
ID  - JTNB_2021__33_1_83_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Jyothsnaa Sivaraman
%T Primitive roots for Pjateckii-Šapiro primes
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2021
%P 83-94
%V 33
%N 1
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1152/
%R 10.5802/jtnb.1152
%G en
%F JTNB_2021__33_1_83_0

Jyothsnaa Sivaraman. Primitive roots for Pjateckii-Šapiro primes. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 33 (2021) no. 1, pp. 83-94. doi : 10.5802/jtnb.1152. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1152/

Bibliographie
Cité par

[1] Jean-Marc Deshouillers A remark on cube-free numbers in Segal–Piatestki-Shapiro sequences, Hardy-Ramanujan J., Volume 41 (2019), pp. 127-132 | MR | Zbl

[2] Étienne Fouvry; Henryk Iwaniec Primes in arithmetic progressions, Acta Arith., Volume 42 (1983) no. 2, pp. 197-218 | DOI | MR | Zbl

[3] Rajiv Gupta; M. Ram Murty A remark on Artin’s conjecture, Invent. Math., Volume 78 (1984) no. 1, pp. 127-130 | DOI | MR | Zbl

[4] Heini Halberstam; Hans-Egon Richert Sieve methods, London Mathematical Society Monographs, 4, Academic Press Inc., 1974 | MR | Zbl

[5] David R. Heath-Brown The Pjateckii-Šapiro prime number theorem, J. Number Theory, Volume 16 (1983), pp. 242-266 | DOI | Zbl

[6] Christopher Hooley On Artin’s conjecture, J. Reine Angew. Math., Volume 225 (1967), pp. 209-220 | MR | Zbl

[7] Chaohua Jia On Pjateckiĭ-Šapiro prime number theorem, Chin. Ann. Math., Ser. B, Volume 15 (1994) no. 1, pp. 9-22 | Zbl

[8] Grigoriĭ A. Kolesnik The distribution of primes in sequences of the form $[n^{c}]$ , Mat. Zametki, Volume 2 (1972), pp. 117-128 | MR

[9] Dieter Leitmann; Dieter Wolke Primzahlen der Gestalt $[n^{Γ}]$ in arithmetischen Progressionen, Arch. Math., Volume 25 (1974), pp. 492-494 | DOI | MR | Zbl

[10] H. Q. Liu; Joël Rivat On the Pjateckii-Šapiro prime number theorem, Bull. Lond. Math. Soc., Volume 24 (1992) no. 2, pp. 143-147 | DOI | Zbl

[11] Ya Ming Lu An additive problem on Pjateckii-Šapiro primes, Acta Math. Sin., Engl. Ser., Volume 34 (2018) no. 2, pp. 255-264 | MR | Zbl

[12] Ilya I. Pjateckii-Šapiro On the distribution of prime numbers in sequences of the form $[f (n)]$ , Mat. Sb., Volume 33 (1953), pp. 559-566 | MR

[13] Joël Rivat; Patrick Sargos Nombres premiers de la forme $⌊ n^{c} ⌋$ , Can. J. Math., Volume 53 (2001) no. 2, pp. 414-433 | DOI | MR | Zbl

[14] Joël Rivat; Jie Wu Prime numbers of the form $⌊ n^{c} ⌋$ , Glasg. Math. J., Volume 43 (2001) no. 2, pp. 237-254 | MR | Zbl

Cité par Sources :