The Chevalley–Gras formula over global fields
Jianing Li1 ; Chia-Fu Yu2
1 CAS Wu Wen-Tsun Key Laboratory of Mathematics University of Science and Technology of China Hefei, Anhui 230026, China
2 Institute of Mathematics, Academia Sinica and NCTS Astronomy Mathematics Building No. 1, Roosevelt Rd. Sec. 4 Taipei, 10617, Taiwan
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 2, pp. 525-543.

Dans cet article, nous donnons une preuve adélique de la formule de Chevalley–Gras pour les corps de nombres qui, elle-même, est une généralisation de la formule du nombre de classes ambiges. L’idée est de réduire cette formule au théorème de la norme de Hasse et à des lois de réciprocité globaux. Nous donnons également une preuve adélique de la formule de Chevalley–Gras pour les groupes des classes des diviseurs de degré 0 dans le cas des corps de fonctions, qui étend un résultat de Rosen.

In this article we give an adelic proof of the Chevalley–Gras formula for global fields, which itself is a generalization of the ambiguous class number formula. The idea is to reduce the formula to the Hasse norm theorem and to the local and global reciprocity laws. We also give an adelic proof of the Chevalley–Gras formula for the class group of divisors of degree 0 in the function field case, which extends a result of Rosen.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/jtnb.1133
Classification : 11R29, 11R37, 11R34
Mots clés : class groups, ambiguous class number formulas, class field theory
Jianing Li 1 ; Chia-Fu Yu 2

1 CAS Wu Wen-Tsun Key Laboratory of Mathematics University of Science and Technology of China Hefei, Anhui 230026, China
2 Institute of Mathematics, Academia Sinica and NCTS Astronomy Mathematics Building No. 1, Roosevelt Rd. Sec. 4 Taipei, 10617, Taiwan
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
@article{JTNB_2020__32_2_525_0,
     author = {Jianing Li and Chia-Fu Yu},
     title = {The {Chevalley{\textendash}Gras} formula over global fields},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {525--543},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {32},
     number = {2},
     year = {2020},
     doi = {10.5802/jtnb.1133},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1133/}
}
TY  - JOUR
AU  - Jianing Li
AU  - Chia-Fu Yu
TI  - The Chevalley–Gras formula over global fields
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2020
SP  - 525
EP  - 543
VL  - 32
IS  - 2
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1133/
DO  - 10.5802/jtnb.1133
LA  - en
ID  - JTNB_2020__32_2_525_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Jianing Li
%A Chia-Fu Yu
%T The Chevalley–Gras formula over global fields
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2020
%P 525-543
%V 32
%N 2
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1133/
%R 10.5802/jtnb.1133
%G en
%F JTNB_2020__32_2_525_0
Jianing Li; Chia-Fu Yu. The Chevalley–Gras formula over global fields. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 2, pp. 525-543. doi : 10.5802/jtnb.1133. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1133/

[1] Emil Artin; John Tate Class field theory, AMS Chelsea Publishing, 2009 | Zbl

[2] Luca Caputo; Filippo A. E. Nuccio Mortarino Majno Di Capriglio Class number formula for dihedral extensions, Glasg. Math. J., Volume 62 (2020) no. 2, pp. 323-353 | DOI | MR | Zbl

[3] Claude Chevalley Sur la théorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux, Thèses de l’entre-deux-guerres, 155, 1934 (Doctorat d’État) | Numdam

[4] Cristian D. González-Avilés Chevalley’s ambiguous class number formula for an arbitrary torus, Math. Res. Lett., Volume 15 (2008) no. 6, pp. 1149-1165 | DOI | MR | Zbl

[5] Georges Gras Sur les ℓ-classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier ℓ, Ann. Inst. Fourier, Volume 23 (1973) no. 3, pp. 1-48 | DOI | MR | Zbl

[6] Georges Gras Classes généralisées invariantes, J. Math. Soc. Japan, Volume 46 (1994) no. 3, pp. 467-476 | DOI | MR | Zbl

[7] Georges Gras Class field theory. From theory to practice, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2003 | Zbl

[8] Georges Gras Invariant generalized ideal classes–structure theorems for p-class groups in p-extensions, Proc. Indian Acad. Sci., Math. Sci., Volume 127 (2017) no. 1, pp. 1-34 | DOI | MR | Zbl

[9] Serge Lang Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics, 110, Springer, 1986 | Zbl

[10] Serge Lang Cyclotomic fields I and II, Graduate Texts in Mathematics, 121, Springer, 1990 | MR | Zbl

[11] Franz Lemmermeyer The ambiguous class number formula revisited, J. Ramanujan Math. Soc., Volume 28 (2013) no. 4, pp. 415-421 | MR | Zbl

[12] Jianing Li; Yi Ouyang; Yue Xu; Shenxing Zhang ℓ-Class groups of fields in Kummer towers (2019) (https://arxiv.org/abs/1905.04966v2, to appear in Publ. Mat., Barc.)

[13] Christian Maire T-S capitulation, Publ. Math. Besançon, Algèbre Théorie Nombres, Volume 1996–97 (1997), 2, 32 pages | Zbl

[14] James Stuart Milne Class Field Theory (2013) (v4.02, available at http://www.jmilne.org/math/)

[15] Michael Rosen Ambiguous divisor classes in function fields, J. Number Theory, Volume 9 (1977) no. 2, pp. 160-174 | DOI | MR | Zbl

[16] Peter Stevenhagen Redei reciprocity, governing fields, and negative Pell (2020) (https://arxiv.org/abs/1806.06250v2)

[17] Chia-Fu Yu A remark on Chevalley’s ambiguous class number formulas (2016) (https://arxiv.org/abs/1412.1458v2)

Cité par Sources :