A note on Misiurewicz polynomials

Vefa Goksel

doi:10.5802/jtnb.1126

Vefa Goksel ¹

¹ Department of Mathematics and Statistics Lederle Graduate Research Tower, 1623D University of Massachusetts Amherst 710 N. Pleasant Street Amherst, MA 01003-9305, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 2, pp. 373-385.

Résumé
Abstract

Soit $f_{c, d} (x) = x^{d} + c \in ℂ [x]$ . On appelle point de Misiurewicz une valeur $c_{0}$ pour laquelle $f_{c_{0}, d}$ a une orbite critique finie et strictement pré-périodique. Tout point de Misiurewicz appartient à $\bar{ℚ}$ . Supposons que les points $c_{0}, c_{1} \in \bar{ℚ}$ sont tels que les orbites de $f_{c_{0}, d}$ et de $f_{c_{1}, d}$ sont du même type. Une question classique est de savoir si $c_{0}$ et $c_{1}$ sont nécessairement conjugués sur $ℚ$ . Récemment, certains progrès ont été réalisés par plusieurs auteurs pour répondre à cette question. Dans cette note, nous démontrons de nouveaux résultats dans le cas où $d$ est un nombre premier. Tous les résultats connus jusqu’à présent portent sur des cas où la période est au plus $3$ . En particulier, notre travail est le premier à fournir des informations dans le cas de période plus grande que $3$ .

Let $f_{c, d} (x) = x^{d} + c \in ℂ [x]$ . The $c_{0}$ values for which $f_{c_{0}, d}$ has a strictly pre-periodic finite critical orbit are called Misiurewicz points. Any Misiurewicz point lies in $\bar{ℚ}$ . Suppose that the Misiurewicz points $c_{0}, c_{1} \in \bar{ℚ}$ are such that the polynomials $f_{c_{0}, d}$ and $f_{c_{1}, d}$ have the same orbit type. One classical question is whether $c_{0}$ and $c_{1}$ need to be Galois conjugates or not. Recently there has been partial progress on this question by several authors. In this note, we prove some new results when $d$ is a prime. All the results known so far were in the cases of period at most $3$ . In particular, our work is the first to say something provable in the cases of period greater than $3$ .

Reçu le : 2019-08-19
Révisé le : 2020-06-17
Accepté le : 2020-07-28
Publié le : 2020-10-29

DOI : 10.5802/jtnb.1126

Classification : 11R09, 37P15
Mots clés : iteration, post-critically finite, Misiurewicz point

Affiliations des auteurs :

Vefa Goksel ¹

¹ Department of Mathematics and Statistics Lederle Graduate Research Tower, 1623D University of Massachusetts Amherst 710 N. Pleasant Street Amherst, MA 01003-9305, USA

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Vefa Goksel. A note on Misiurewicz polynomials. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 2, pp. 373-385. doi : 10.5802/jtnb.1126. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1126/

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