Optimalité pour un problème de Bézivin

David Adam

doi:10.5802/jtnb.1073

David Adam

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 31 (2019) no. 1, pp. 161-177.

Résumé
Abstract

Soit $q$ un entier tel que $| q | \geq 2$ et $s$ un entier naturel non nul. Dans cet article, nous montrons qu’une fonction entière $f$ telle que ${lim^{¯}}_{r \to + \infty} \frac{{ln | f |}_{r}}{{ln}^{3} r} < \frac{4 s}{27 {ln}^{2} | q |}$ et qui prend des valeurs entières de Gauss sur ${q^{m} + i q^{n} ∣ m, n \in ℕ}$ ainsi que ses $s - 1$ premières dérivées est un polynôme. De plus la borne $\frac{4 s}{27 {ln}^{2} | q |}$ est optimale. Cela généralise et améliore un résultat obtenu par Bézivin dans [1].

Let $q$ be an integer such that $| q | \geq 2$ and $s$ be a positive integer. In this article, we show that an entire function $f$ such that ${lim^{¯}}_{r \to + \infty} \frac{{ln | f |}_{r}}{{ln}^{3} r} < \frac{4 s}{27 {ln}^{2} | q |}$ and taking Gaussian integer values on ${q^{m} + i q^{n} ∣ m, n \in ℕ}$ , as well as its $s - 1$ first derivatives, is a polynomial. Moreover, the bound $\frac{4 s}{27 {ln}^{2} | q |}$ is optimal. This generalizes and improves a result obtained by Bézivin in [1].

Reçu le : 2018-04-09
Révisé le : 2018-10-10
Accepté le : 2018-11-15
Publié le : 2019-07-28

MR

DOI : 10.5802/jtnb.1073

Classification : 30D15, 39B32
Mots clés : Fonctions entières arithmétiques

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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David Adam. Optimalité pour un problème de Bézivin. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 31 (2019) no. 1, pp. 161-177. doi : 10.5802/jtnb.1073. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1073/

Bibliographie
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Cité par Sources :