On the order modulo p of an algebraic number
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 307-329.

Soit K/ Galoisienne, et soit ηK× de conjugués multiplicativement indépendants. Pour un premier p, non ramifié, étranger à η, soient np le degré résiduel de p et gp le nombre de 𝔭|p, puis o𝔭(η) et op(η) les ordres de η modulo 𝔭 et p respectivement. En utilisant les automorphismes de Frobenius, nous montrons que pour tout p0, certains diviseurs explicites de pnp-1 ne peuvent réaliser ni o𝔭(η) ni op(η), et nous donnons une borne inférieure de op(η). Ensuite nous obtenons que Prob(op(η)<p)1pgp(np-1)-ε, où ε=O1log2(p), pour tout p0 tel que np>1  ; sous l’heuristique de Borel–Cantelli, ceci conduit à op(η)>p pour tout p0 tel que gp(np-1)2, ce qui couvre les cas “limites” des corps cubiques avec np=3 et des corps quartiques avec np=gp=2, mais non celui des corps quadratiques avec np=2. Dans le cas quadratique, la conjecture naturelle est, au contraire, que op(η)<p pour une infinité de p inertes. Des calculs sont donnés via des programmes PARI.

Let K/ be Galois, and let ηK× whose conjugates are multiplicatively independent. For a prime p, unramified, prime to η, let np be the residue degree of p and gp the number of 𝔭|p, then let o𝔭(η) and op(η) be the orders of η modulo 𝔭 and p, respectively. Using Frobenius automorphisms, we show that for all p0, some explicit divisors of pnp-1 cannot realize o𝔭(η) nor op(η), and we give a lower bound of op(η). Then we obtain that, for all p0 such that np>1, Prob(op(η)<p)1pgp(np-1)-ε, where ε=O1log2(p); under the Borel–Cantelli heuristic, this leads to op(η)>p for all p0 such that gp(np-1)2, which covers the “limit” cases of cubic fields with np=3 and quartic fields with np=gp=2, but not the case of quadratic fields with np=2. In the quadratic case, the natural conjecture is, on the contrary, that op(η)<p for infinitely many inert p. Some computations are given with PARI programs.

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DOI : 10.5802/jtnb.1027
Classification : 11R04, 11R16
Mots-clés : algebraic numbers, order modulo p, Frobenius automorphisms, probabilistic number theory

Georges Gras 1

1 Villa la Gardette chemin Château Gagnière 38520 Le Bourg d’Oisans, France
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
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[1] Georges Gras Class Field Theory: from theory to practice, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2005, xiii+507 pages | DOI | Zbl

[2] Georges Gras Les θ-régulateurs locaux d’un nombre algébrique : Conjectures p-adiques, Can. J. Math., Volume 68 (2016) no. 3, pp. 571-624 | DOI | Zbl

[3] Georges Gras Étude probabiliste des quotients de Fermat, Funct. Approximatio, Comment. Math., Volume 54 (2016) no. 1, pp. 115-140 | DOI | Zbl

[4] Pieter Moree Artin’s Primitive Root Conjecture - A Survey, Integers, Volume 12 (2012) no. 6, pp. 1305-1416 | DOI | MR | Zbl

[5] Władysław Narkiewicz Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2004, xi+708 pages | Zbl

[6] Gérald Tenenbaum Introduction à la Théorie Analytique et Probabiliste des Nombres, Belin, 2015, 592 pages

[7] The PARI Group PARI/GP version 2.9.0, 2016 (available from http://pari.math.u-bordeaux.fr/)

[8] Lawrence C. Washington Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83, Springer, 1997, xiv+487 pages | MR | Zbl

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