On the order modulo $p$ of an algebraic number

Georges Gras

doi:10.5802/jtnb.1027

On the order modulo

p

of an algebraic number

Georges Gras ¹

¹ Villa la Gardette chemin Château Gagnière 38520 Le Bourg d’Oisans, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 30 (2018) no. 1, pp. 307-329.

Abstract
Résumé

Let $K / ℚ$ be Galois, and let $η \in K^{\times}$ whose conjugates are multiplicatively independent. For a prime $p$ , unramified, prime to $η$ , let $n_{p}$ be the residue degree of $p$ and $g_{p}$ the number of $𝔭 | p$ , then let $o_{𝔭} (η)$ and $o_{p} (η)$ be the orders of $η$ modulo $𝔭$ and $p$ , respectively. Using Frobenius automorphisms, we show that for all $p ≫ 0$ , some explicit divisors of $p^{n_{p}} - 1$ cannot realize $o_{𝔭} (η)$ nor $o_{p} (η)$ , and we give a lower bound of $o_{p} (η)$ . Then we obtain that, for all $p ≫ 0$ such that $n_{p} > 1$ , $P r o b (o_{p} (η) < p) \leq \frac{1}{p^{g_{p} (n_{p} - 1) - ε}}$ , where $ε = O (\frac{1}{{log}_{2} (p)})$ ; under the Borel–Cantelli heuristic, this leads to $o_{p} (η) > p$ for all $p ≫ 0$ such that $g_{p} (n_{p} - 1) \geq 2$ , which covers the “limit” cases of cubic fields with $n_{p} = 3$ and quartic fields with $n_{p} = g_{p} = 2$ , but not the case of quadratic fields with $n_{p} = 2$ . In the quadratic case, the natural conjecture is, on the contrary, that $o_{p} (η) < p$ for infinitely many inert $p$ . Some computations are given with PARI programs.

Soit $K / ℚ$ Galoisienne, et soit $η \in K^{\times}$ de conjugués multiplicativement indépendants. Pour un premier $p$ , non ramifié, étranger à $η$ , soient $n_{p}$ le degré résiduel de $p$ et $g_{p}$ le nombre de $𝔭 | p$ , puis $o_{𝔭} (η)$ et $o_{p} (η)$ les ordres de $η$ modulo $𝔭$ et $p$ respectivement. En utilisant les automorphismes de Frobenius, nous montrons que pour tout $p ≫ 0$ , certains diviseurs explicites de $p^{n_{p}} - 1$ ne peuvent réaliser ni $o_{𝔭} (η)$ ni $o_{p} (η)$ , et nous donnons une borne inférieure de $o_{p} (η)$ . Ensuite nous obtenons que $P r o b (o_{p} (η) < p) \leq \frac{1}{p^{g_{p} (n_{p} - 1) - ε}}$ , où $ε = O (\frac{1}{{log}_{2} (p)})$ , pour tout $p ≫ 0$ tel que $n_{p} > 1$ ; sous l’heuristique de Borel–Cantelli, ceci conduit à $o_{p} (η) > p$ pour tout $p ≫ 0$ tel que $g_{p} (n_{p} - 1) \geq 2$ , ce qui couvre les cas “limites” des corps cubiques avec $n_{p} = 3$ et des corps quartiques avec $n_{p} = g_{p} = 2$ , mais non celui des corps quadratiques avec $n_{p} = 2$ . Dans le cas quadratique, la conjecture naturelle est, au contraire, que $o_{p} (η) < p$ pour une infinité de $p$ inertes. Des calculs sont donnés via des programmes PARI.

Received: 2016-06-29
Revised: 2016-11-20
Accepted: 2017-02-02
Published online: 2018-05-14

MR Zbl

DOI: 10.5802/jtnb.1027

Classification: 11R04, 11R16
Keywords: algebraic numbers, order modulo $p$, Frobenius automorphisms, probabilistic number theory

Author's affiliations:

Georges Gras ¹

¹ Villa la Gardette chemin Château Gagnière 38520 Le Bourg d’Oisans, France

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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References
Cited by

[1] Georges Gras Class Field Theory: from theory to practice, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2005, xiii+507 pages | DOI | Zbl

[2] Georges Gras Les $θ$ -régulateurs locaux d’un nombre algébrique : Conjectures $p$ -adiques, Can. J. Math., Volume 68 (2016) no. 3, pp. 571-624 | DOI | Zbl

[3] Georges Gras Étude probabiliste des quotients de Fermat, Funct. Approximatio, Comment. Math., Volume 54 (2016) no. 1, pp. 115-140 | DOI | Zbl

[4] Pieter Moree Artin’s Primitive Root Conjecture - A Survey, Integers, Volume 12 (2012) no. 6, pp. 1305-1416 | DOI | MR | Zbl

[5] Władysław Narkiewicz Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2004, xi+708 pages | Zbl

[6] Gérald Tenenbaum Introduction à la Théorie Analytique et Probabiliste des Nombres, Belin, 2015, 592 pages

[7] The PARI Group PARI/GP version 2.9.0, 2016 (available from http://pari.math.u-bordeaux.fr/)

[8] Lawrence C. Washington Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83, Springer, 1997, xiv+487 pages | MR | Zbl

Cited by Sources: