Soit Galoisienne, et soit de conjugués multiplicativement indépendants. Pour un premier , non ramifié, étranger à , soient le degré résiduel de et le nombre de , puis et les ordres de modulo et respectivement. En utilisant les automorphismes de Frobenius, nous montrons que pour tout , certains diviseurs explicites de ne peuvent réaliser ni ni , et nous donnons une borne inférieure de . Ensuite nous obtenons que , où , pour tout tel que ; sous l’heuristique de Borel–Cantelli, ceci conduit à pour tout tel que , ce qui couvre les cas “limites” des corps cubiques avec et des corps quartiques avec , mais non celui des corps quadratiques avec . Dans le cas quadratique, la conjecture naturelle est, au contraire, que pour une infinité de inertes. Des calculs sont donnés via des programmes PARI.
Let be Galois, and let whose conjugates are multiplicatively independent. For a prime , unramified, prime to , let be the residue degree of and the number of , then let and be the orders of modulo and , respectively. Using Frobenius automorphisms, we show that for all , some explicit divisors of cannot realize nor , and we give a lower bound of . Then we obtain that, for all such that , , where ; under the Borel–Cantelli heuristic, this leads to for all such that , which covers the “limit” cases of cubic fields with and quartic fields with , but not the case of quadratic fields with . In the quadratic case, the natural conjecture is, on the contrary, that for infinitely many inert . Some computations are given with PARI programs.
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DOI : 10.5802/jtnb.1027
Mots-clés : algebraic numbers, order modulo $p$, Frobenius automorphisms, probabilistic number theory
Georges Gras 1

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Cité par Sources :