Nous donnons un certain nombre de methodes pour le calcul de fonctions , y compris de degré strictement plus grand que . Nous décrivons le calcul des coefficients de Dirichlet en utilisant une grande variété de méthodes, par exemple l’utilisation de la formule de Gross–Koblitz -adique, et le calcul de transformées de Mellin inverse et de fonctions gamma incomplètes généralisées. Nous mentionnons ensuite l’utilisation des équations fonctionnelles approchées lissées, et les “formules explicites”. Enfin, nous donnons un aperçu de la théorie relativement récente des motifs hypergéométriques, qui permettent de créer des fonctions de grand degré de manière élémentaire.
Nous donnons aussi une brève liste des logiciels disponibles, y compris certains qui sont capable de détecter heuristiquement l’existence même de fonctions ne connaissant que leurs facteurs gamma et leur conducteur. Comme applications, nous mentionnons en particulier la conjecture paramodulaire de Brumer–Kramer, et les gros calculs de formes de Maass sur pour , et effectués par Farmer et al.
We survey a number of techniques for computing -functions, including those of degree larger than . We discuss the computation of the Dirichlet coefficients using quite a variety of methods, for instance using the -adic Gross–Koblitz formula, and the computation of inverse Mellin transforms and of generalized incomplete gamma functions. We then explain the use of smoothed approximate functional equations and of the so-called “explicit formulas”. Finally, we discuss the recent and exciting topic of hypergeometric motives, which allows to create -functions of high degree in an elementary way.
We also mention the available software, including some which can detect heuristically the sheer existence of -functions knowing only their gamma factors and conductor. As applications, we mention in particular the paramodular conjecture of Brumer–Kramer, and the large scale computations of Maass cusp forms for for , , and done by Farmer et al.
Mots clés : $L$-functions, inverse Mellin transforms, approximate functional equation, explicit formulas, Gross–Koblitz formula.
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Henri Cohen. Computing $L$-Functions: A Survey. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 3, pp. 699-726. doi : 10.5802/jtnb.920. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.920/
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