Realising the cup product of local Tate duality
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 1, pp. 219-244.

Nous présentons une description explicite, en termes d’algèbres centrales simples, d’un cup-produit intervenant dans l’énoncé de la dualité de Tate locale pour les modules galoisiens d’ordre premier p. Étant donnés deux cocycles f et g, nous construisons une algèbre centrale simple de dimension p 2 dont la classe dans le groupe de Brauer donne le cup-produit fg. Cette algèbre est aussi petite que possible.

We present an explicit description, in terms of central simple algebras, of a cup product map which occurs in the statement of local Tate duality for Galois modules of prime cardinality p. Given cocycles f and g, we construct a central simple algebra of dimension p 2 whose class in the Brauer group gives the cup product fg. This algebra is as small as possible.

Reçu le : 2013-07-09
Révisé le : 2013-12-17
Accepté le : 2014-01-13
Publié le : 2015-05-21
DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.900
Classification : 16K20,  12G05
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Rachel Newton. Realising the cup product of  local Tate duality. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 1, pp. 219-244. doi : 10.5802/jtnb.900. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2015__27_1_219_0/

[1] P. Gille and T. Szamuely, Central simple algebras and Galois cohomology, Cambridge University Press, (2006). | MR 2266528 | Zbl 1137.12001

[2] N. Jacobson, Basic Algebra II, W. H. Freeman and Co., San Francisco, Calif., USA, (1980). | MR 571884 | Zbl 0694.16001

[3] V. A. Kolyvagin, Finiteness of E() and Ш(E,) for a subclass of Weil curves, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 52, 3 (1988), 522–540. | MR 954295 | Zbl 0662.14017

[4] V. A. Kolyvagin, On the Mordell-Weil and Shafarevich-Tate groups for Weil elliptic curves, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 52, 6 (1988), 1154–1180. | MR 984214 | Zbl 0681.14016

[5] A. Pillons, Exposé 7. – Cup-produit in Cohomologie Galoisienne des Modules Finis, Ed. G. Poitou, Travaux et Recherches Mathématiques, Dunod Paris, (1967). | MR 219591 | Zbl 0161.04203

[6] I. Reiner, Maximal Orders, London Mathematical Society Monographs New Series, Clarendon Press, Oxford, UK, (2003). | MR 1972204 | Zbl 1024.16008

[7] J.-P. Serre, Local Fields, Graduate Texts in Mathematics 67, Springer-Verlag New York, Inc., New York, (1979). | MR 554237 | Zbl 0423.12016

[8] J. Tate, Duality theorems in Galois cohomology over number fields, Proc. Int. Congress Math. Stockholm (1962), 288–295. | MR 175892 | Zbl 0126.07002