Sur la 2-cohomologie non abélienne des modèles réguliers des anneaux locaux henséliens
Jean-Claude Douai1
1 Laboratoire Painlevé U.M.R 8524 Université des sciences et technologies de Lille 1 59655 Villeneuve d’ascq cedex France
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 1, pp. 119-129.

Soit A un anneau Notherien, local, Henselien, excellent, de corps résiduel k, k étant ou algébriquement clos de caractéristique 0 ou un corps fini, X→SpecA un morphisme propre dont la fibre spéciale X 0 →SpecA est de dimension au plus 1. Dans ce papier, nous complètons les résultats de [1] en montrant que si X est régulier et si L est un X et -lien localement représentable par un groupe semi-simple simplement connexe, alors toutes les classes de H 2 (X et ,L) sont neutres. Prenant pour X un modèle régulier de A, nous montrons que toutes les classes de H 2 (K,L), K=Frac(A), sont neutres si dim(A)=2 et k algébriquement clos de caractéristique 0. Ceci redonne certains résultats de [2].

Let A be a Notherian, local, Henselien, excellent domain with algbraically closed residue field of caracteristic 0 or finite k, K=Frac(A), X→SpecA a proper morphism with special fiber X 0 →Speck of dimension at most one. Here we complete the results of [1] showing that if X is regular and if L is a X et -lien that is locally representable by a simply connected semi-simple group, then all classes of H 2 (X et ,L) are neutral. Taking for X a regular model of A, we show that all classes of H 2 (K,L) are neutral if dim(A)=2 and if k is algebraically closed of caracteristic 0. We find again some results of [2].

DOI : 10.5802/jtnb.661
Jean-Claude Douai 1

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Jean-Claude Douai. Sur la 2-cohomologie non abélienne des modèles réguliers des anneaux locaux henséliens. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 1, pp. 119-129. doi : 10.5802/jtnb.661. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.661/

[1] J.L. Colliot-Thélène, M. Ojanguren and R. Parimala, Quadratic forms over fraction fields of two-dimensional Henselian rings and Brauer groups of related schemes. In Algebra, Arithmetic and Geometry, I, II (Mumbai, 2000), Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math. 16 (2002), 185–217. MR 1940669. | MR | Zbl

[2] J.L. Colliot-Thélène, P. Gille and R. Parimala, Arithmetic of linear algebraic groups over 2-dimensional geometric fields. Duke Math. J. 121 (2004), 285–341. | MR | Zbl

[3] J.C. Douai, 2-cohomologie galoisienne des groupes semi-simples. Thèse d’Etat, Université de Lille 1, Lille, France, 1976.

[4] J.C. Douai, Sur la 2-cohomologie galoisienne de la composante résiduellement neutre des groupes réductifs connexes définis sur les corps locaux. C.R. Acad. Sci. Paris, Série I 342 (2006), 813–818. | MR | Zbl

[5] J. Giraud, Cohomologie non abélienne. Grundlheren Math. Wiss. vol. 179, Springer-Verlag, 1971. | MR | Zbl

[6] J.S. Milne, Etale cohomology. Princeton Mathematical Series, vol. 33, Princeton University Press, Princeton, 1980. | MR | Zbl

[7] S.G.A.D., Séminaire de géométrie algébrique 1963-1964. Lecture Notes in Math., 151–153, Springer, 1970.

Cité par Sources :