Cohomology of integer matrices and local-global divisibility on the torus

Marco Illengo

doi:10.5802/jtnb.629

Marco Illengo ¹

¹ Scuola Normale Superiore Piazza dei Cavalieri 7 56126 Pisa, Italia

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 20 (2008) no. 2, pp. 327-334.

Résumé
Abstract

Soient $p \neq 2$ un nombre premier et $G$ un $p$ -groupe de matrices dans ${SL}_{n} (ℤ)$ , pour un nombre entier $n$ . Dans cet article nous montrons que, pour $n < 3 (p - 1)$ , un certain sous-groupe du groupe de cohomologie $H^{1} (G, 𝔽_{p}^{n})$ est trivial. Nous montrons aussi que cette affirmation peut être fausse pour $n \geq 3 (p - 1)$ . Avec un résultat de Dvornicich et Zannier (voir [2]), nous obtenons que le principe local-global de divisibilité pour $p$ vaut pour tout tore algébrique de dimension $n < 3 (p - 1)$ .

Let $p \neq 2$ be a prime and let $G$ be a $p$ -group of matrices in ${SL}_{n} (ℤ)$ , for some integer $n$ . In this paper we show that, when $n < 3 (p - 1)$ , a certain subgroup of the cohomology group $H^{1} (G, 𝔽_{p}^{n})$ is trivial. We also show that this statement can be false when $n \geq 3 (p - 1)$ . Together with a result of Dvornicich and Zannier (see [2]), we obtain that any algebraic torus of dimension $n < 3 (p - 1)$ enjoys a local-global principle on divisibility by $p$ .

MR

DOI : 10.5802/jtnb.629

Affiliations des auteurs :

Marco Illengo ¹

¹ Scuola Normale Superiore Piazza dei Cavalieri 7 56126 Pisa, Italia

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Marco Illengo. Cohomology of integer matrices and local-global divisibility on the torus. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 20 (2008) no. 2, pp. 327-334. doi : 10.5802/jtnb.629. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.629/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :