Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$

J. Boxall; E. Bavencoffe

doi:10.5802/jtnb.67

Quelques propriétés arithmétiques des points de

3

-division de la jacobienne de

y^{2} = x^{5} - 1

J. Boxall; E. Bavencoffe

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 4 (1992) no. 1, pp. 113-128.

Abstract

Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$ , et dont un modèle affine est donné par $y^{2} = x^{5} - 1$ . On désigne par $\infty$ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $φ : C^{2} ⟶ J$ le morphisme associant à chaque couple $(ξ, η)$ de points de $C$ la classe du diviseur $[ξ] + [η] - 2 [\infty]$ dans Pic $_{0} C$ . Soient $u, v, f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par $\begin{matrix} u \circ φ (ξ, η) & = x (ξ) + x (η), \\ v \circ φ (ξ, η) & = x (ξ) x (η), \\ f & = - u + v + 1 \end{matrix}$ Le but de cet article est de montrer que pour tout point $P$ de $3$ -division non nul de $J, u (P)$ et $v (P)$ sont des entiers algébriques et $f (P) / \sqrt{5}$ est une unité. Nous expliciterons le corps engendré par ces valeurs ainsi que le polynôme minimal des $f (P)$ .

MR: 1183921 | Zbl: 0766.14019

DOI: 10.5802/jtnb.67

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J. Boxall; E. Bavencoffe. Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 4 (1992) no. 1, pp. 113-128. doi : 10.5802/jtnb.67. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.67/

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