Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$

J. Boxall; E. Bavencoffe

doi:10.5802/jtnb.67

Quelques propriétés arithmétiques des points de

3

-division de la jacobienne de

y^{2} = x^{5} - 1

J. Boxall ; E. Bavencoffe

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 4 (1992) no. 1, pp. 113-128.

Résumé

Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$ , et dont un modèle affine est donné par $y^{2} = x^{5} - 1$ . On désigne par $\infty$ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $φ : C^{2} ⟶ J$ le morphisme associant à chaque couple $(ξ, η)$ de points de $C$ la classe du diviseur $[ξ] + [η] - 2 [\infty]$ dans Pic $_{0} C$ . Soient $u, v, f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par $\begin{matrix} u \circ φ (ξ, η) & = x (ξ) + x (η), \\ v \circ φ (ξ, η) & = x (ξ) x (η), \\ f & = - u + v + 1 \end{matrix}$ Le but de cet article est de montrer que pour tout point $P$ de $3$ -division non nul de $J, u (P)$ et $v (P)$ sont des entiers algébriques et $f (P) / \sqrt{5}$ est une unité. Nous expliciterons le corps engendré par ces valeurs ainsi que le polynôme minimal des $f (P)$ .

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J. Boxall; E. Bavencoffe. Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 4 (1992) no. 1, pp. 113-128. doi : 10.5802/jtnb.67. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.67/

Bibliographie
Cité par

[BMMB] J.-B. Bost, J.-F. Mestre, L. Moret-Bailly, Calcul explicite en genre 2, dans Séminaire sur les pinceaux de courbes elliptiques, édité par L Szpiro. Astérisque 183 (1990). | MR 1065156

[F] J.D. Fay, Theta Functions on Riemann Surfaces, Lecture Notes in Math. 352, Springer- Verlag (1973). | MR 335789 | Zbl 0281.30013

[G1] D. Grant, Formal Groups in Genus Two, J. Reine und Angew. Math. 441 (1990), 96-121. | MR 1072975 | Zbl 0702.14025

[G2] D. Grant, A Generalisation of a Formula of Eisenstein, Proc. London Math. Soc., (3) 62 (1991), 121-132. | MR 1078216 | Zbl 0738.14019

[M] D. Mumford, Tata Lectures on Theta II., Progress in Math. 43, Birkhäuser, (1984). | MR 742776 | Zbl 0549.14014

[Sh-Ta] G. Shimura, Y. Tanayama, Complex Multiplication of Abelian Varieties and Its Application to Number Theory, Mathematical Society of Japan (1961). | MR 125113 | Zbl 0112.03502

[We] A. Weil, On the Theory of Complex Multiplication, Proc. International Symposium on Algebraic Number Theory, Tokyo- Nikko (1955), 9-12. | MR 83177 | Zbl 0074.26802

Cité par Sources :