Sur certains ensembles normaux
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 1 (1989) no. 1, pp. 67-79.

Let $\Lambda$ be a sequence of real numbers and $B\left(\Lambda \right)$ the associated normal set, i.e. the set of all real numbers $x$ such that $x\Lambda$ is uniformely distributed modulo one. Our main problem is the following : for a given $A\subset ℝ$, does there exist a bounded sequence $\Lambda$ such that $A=B\left(\Lambda \right)$? In some particular cases, when $A\subset ℤ$, we give an estimate of the minimal length of a bounded subinterval $I$ of $ℝ$ in which $\Lambda$ can be taken. We prove that to obtain such an estimate, we have to study the following problem on polynomials : for a given polynomial $P$ with no positive root, find the minimal degree $\delta Q$ of those polynomials $Q$ such that the product $P.Q$ has only positive coefficients.

$\Lambda$ étant une suite de nombres réels, soit $B\left(\Lambda \right)$ l’ensemble normal associé. Pour $A\subset ℝ$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A=B\left(\Lambda \right)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A\subset ℤ$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q\in ℝ\left[X\right]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles $A$.

DOI: 10.5802/jtnb.5
Classification: 11K06
Keywords: ensembles normaux, répartition modulo 1
@article{JTNB_1989__1_1_67_0,
author = {J.-P. Borel},
title = {Sur certains ensembles normaux},
journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
pages = {67--79},
publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
volume = {1},
number = {1},
year = {1989},
doi = {10.5802/jtnb.5},
zbl = {0719.11044},
mrnumber = {1050266},
language = {fr},
url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.5/}
}
TY  - JOUR
TI  - Sur certains ensembles normaux
JO  - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
PY  - 1989
DA  - 1989///
SP  - 67
EP  - 79
VL  - 1
IS  - 1
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.5/
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A0719.11044
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1050266
UR  - https://doi.org/10.5802/jtnb.5
DO  - 10.5802/jtnb.5
LA  - fr
ID  - JTNB_1989__1_1_67_0
ER  - 
%0 Journal Article
%T Sur certains ensembles normaux
%J Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
%D 1989
%P 67-79
%V 1
%N 1
%I Université Bordeaux I
%U https://doi.org/10.5802/jtnb.5
%R 10.5802/jtnb.5
%G fr
%F JTNB_1989__1_1_67_0
J.-P. Borel. Sur certains ensembles normaux. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 1 (1989) no. 1, pp. 67-79. doi : 10.5802/jtnb.5. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.5/

[1] A.S. Besicovitch, On the density of certain sequences of integers, Math. Annalen 110 (1934), 336-341. | JFM: 60.0936.03 | MR: 1512943 | Zbl: 0009.39504

[2] J.-P. Borel, Suites de longueur minimale associées à un ensemble normal donné, Israel J. of Math. 64 (1988), 229-250. | MR: 986149 | Zbl: 0682.10045

[3] J.-P. Borel, Parties d'ensembles b-normaux, Manuscripta Math. 62 (1988), 317-335. | MR: 966629 | Zbl: 0665.10034

[4] J.-P. Borel, Polynômes à coefficients positifs multiples d'un polynôme donné, exposé au colloque 50 ans sur les polynômes, (mai 1988, I.H.P.). à paraître.

[5] J.-P. Borel, Produits de convolution positifs, Publ. du dép. de Math. Université de Limoges 11 (1989). à paraître

[6] H.G. Diamond et M. Essen, Functions with non-négative convolutions, J. of Math. Analysis and Applications 63 (1978), 463-489. | MR: 481924 | Zbl: 0377.42007

[7] F. Dress, Intersection d'ensembles normaux, J. of Number Theory 2 (1970), 352-362. | MR: 266871 | Zbl: 0199.37202

[8] F. Dress et M. Mendès France, Caractérisation des ensembles normaux dans Z, Acta Arith. 17 (1970), 115-120. | MR: 265299 | Zbl: 0199.37203

[9] P. Erdôs, Note on a sequence of integers none of which is divisible by anyother, J. London Math. Soc. 10 (1935), 126-128. | JFM: 61.0132.02

[10] M. Mendès France, La réunion des ensembles normaux, J. of Number Theory 2 (1970), 345-351. | MR: 266870 | Zbl: 0197.32601

[11] E. Meissner, Über positive Darstellung von Polynomen, Math. Annalen 70 (1911), 223-235. | JFM: 42.0459.11 | MR: 1511619

[12] G. Rauzy, Caractérisation des ensembles normaux, Bull. Soc. Math. France 98 (1970), 401-414. | Numdam | MR: 280444 | Zbl: 0218.10066

[13] G. Tenenbaum, Un problème de probabilité conditionnnelle en arithmétique, Acta Arith. 49 (1987), 165-187. | MR: 928635 | Zbl: 0636.10038

Cited by Sources: