Transcendance des valeurs des fonctions automorphes sur ×
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 3, pp. 683-696.

Soit Γ un groupe arithmétique agissant proprement discontinument sur × de covolume fini. On sait que l’espace Γ× est isomorphe à l’ensemble des points complexes d’une variété algébrique quasi-projective V Γ définie sur ¯. Soit J Γ : ×V Γ () une application holomorphe invariante par l’action de Γ et correctement normalisée. Grâce au résultats obtenus par P. Cohen, H. Shiga et J. Wolfart, on sait que J Γ (z 1 ,z 2 )V Γ ( ¯) si z=(z 1 ,z 2 ) est un point algébrique non spécial de ×. Dans cet article, nous allons montrer que nous avons J Γ (z 1 ,z 2 )V Γ ( ¯) si z 1 et z 2 sont deux éléments de , l’un étant algébrique et l’autre transcendant.

Let Γ be an arithmetic group acting properly discontinuously on the product of two copies of the poincaré upper space × with finite covolume. One knows that the space Γ× is isomorphic to the set of complex points of a quasi-projective variety V Γ defined over ¯. Let J Γ :×V Γ () be an holomorphic mapping invariant under Γ and properly normalized. Thanks to P. Cohen, H. Shiga and J. Wolfart’s results, one knows that J Γ (z 1 ,z 2 )V Γ ( ¯) if z=(z 1 ,z 2 ) is an algebraic non special point of ×.In the present article, we shall show, that we have J Γ (z 1 ,z 2 )V Γ ( ¯) if z 1 and z 2 are two elements of one of which is algebraic, the other transcendental.

@article{JTNB_2003__15_3_683_0,
     author = {Derome, Geoffroy},
     title = {Transcendance des valeurs des fonctions automorphes sur $\mathfrak {H} {\texttimes} \mathfrak {H}$},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {683--696},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {15},
     number = {3},
     year = {2003},
     doi = {10.5802/jtnb.421},
     zbl = {1083.11048},
     mrnumber = {2142231},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.421/}
}
Geoffroy Derome. Transcendance des valeurs des fonctions automorphes sur $\mathfrak {H} × \mathfrak {H}$. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 3, pp. 683-696. doi : 10.5802/jtnb.421. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.421/

[1] P.B. Cohen, Humbert surfaces and transcendence properties of automorphic functions. Rocky Mountain J. of Math. 26 no. 3 (1996), 987-1001. | MR 1428481 | Zbl 0888.11030

[2] P.B. Cohen, Propriétés transcendantes des fonctions automorphes. Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, Cambridge University Press, 1992-93. | MR 1345174 | Zbl 0827.11044

[3] G. Derome, Transcendance des valeurs des fonctions automorphes de Siegel. Journal of Number Theory 85 (2000), 18-34. | MR 1800299 | Zbl 0997.11057

[4] G. Derome, Transcendance des valeurs des fonctions automorphes arithmétiques. Thèse de doctorat, Université des Sciences et Techniques de Lille.

[5] G. Faltings, Arithmetic varieties and rigidity. Séminaire de théorie des nombres de Paris, 1982-83, Birkhäuser, 1984. | MR 791585 | Zbl 0549.14010

[6] I. Satake, Algebraic structures of symmetrics domains. Pub. Math. Soc. Japan 14, Shoten Pub. and Princeton University Press, 1980. | MR 591460 | Zbl 0483.32017

[7] H. Shiga And J. Wolfart, Criteria for complex multiplication and transcendence properties of automorphic function. J. Reine Angew. Math 463 (1995), 1-25. | MR 1332905 | Zbl 0827.11043

[8] G. Shimura, On analytic families of polarized abelian varieties and automorphic functions. Ann. Math. 78 (1963), 149-192. | MR 156001 | Zbl 0142.05402

[9] G. Shimura, Moduli and fibre systems of abelian varieties. Ann. of Math. 83 (1966), 294-338. | MR 199190 | Zbl 0141.37503

[10] C.L. Siegel, Lectures on Riemann matrices. Tata Institute, Bombay 1963. | MR 266959 | Zbl 0249.14014

[11] G. Van Der Geer, Hilbert modular surfaces. Springer-Verlag, 1980. | MR 930101 | Zbl 0634.14022

[12] G. Wüstholz, Algebraic groups, Hodge theory, and Transcendence. Proc. ICM Berkeley 1 (1986), 476-483. | MR 934247 | Zbl 0679.10023