Résultats élémentaires sur certaines équations diophantiennes
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 14 (2002) no. 2, pp. 629-646.

Deep theorems of W. Ljunggren have shown that, for given a>0, the diophantine equations x 4 -ay 2 =1 and x 2 -ay 4 =1, have at most 1 or 2 non trivial solutions. By elementary methods, I give here an answer to the following question : for which values of a, prime or related, do these equations have non trivial solutions ?

Dans des travaux profonds, W. Ljunggren a montré que, pour a>0 donné, les équations diophantiennes x 4 -ay 2 =1 and x 2 -ay 4 =1 ont au plus 1 ou 2 solutions non triviales. Par des méthodes élémentaires, je réponds ici à la question : pour quelles valeurs de a, premières ou analogues, ont-elles des solutions non-triviales ?

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Pierre Samuel. Résultats élémentaires sur certaines équations diophantiennes. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 14 (2002) no. 2, pp. 629-646. doi : 10.5802/jtnb.379. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.379/

[1] J.H.E. Cohn, The Diophantine equation x4 - Dy2 = 1. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 26 (1975), no. 103, 279-281. | MR: 379356 | Zbl: 0311.10025

[2] J.H.E. Cohn, The Diophantine equation x4 - Dy2 = 1. II. Acta Arith. 78 (1997), 401-403. | MR: 1438594 | Zbl: 0870.11018

[3] W. Ljunggren, Über die Gleichung x4 - Dy2 = 1. Arch. Math. Naturv., Olso, 45 (1942), n°5, 61-70. | JFM: 68.0069.01 | MR: 12619

[4] W. Ljunggren, Zur Theorie der Gleichung x2 +1 = Dy4. Avh. Norsk. Vid. Akad. Olso, (1942), 1-27. | JFM: 68.0068.01 | MR: 16375 | Zbl: 0027.01103

[5] W. Ljunggren, Ein satz über die diophantische Gleichung Ax2 - By4 = C (C = 1, 2, 4). Tolfte Skand. Math. Kongresses, Lund, 1953, pp. 188-194. Lunds Universitets Matematiska Inst., Lund, (1954). | MR: 65575 | Zbl: 0056.03601

[6] P. Ribenboim, Nombres premiers, mystères et records. Presses Universitaires de France, Paris, 1994, pp. 217-218. | MR: 1311480 | Zbl: 0842.11001

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