Quelques paires d'exposants par la méthode de Vinogradov
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 1, pp. 271-285.

Pour majorer les sommes d’exponentielles de la forme mM e(f(m)) uniquement en fonction de la dérivée k-ième de f, on dispose soit de la méthode de van der Corput pour les petites valeurs de k, soit de celle de Vinogradov pour les grandes valeurs de k. La jonction entre ces deux méthodes, tenant compte des progrès récents de l’une et de l’autre, est obtenue ici en étudiant les cas k=9,10,11 par une méthode qui relève essentiellement de celle de Vinogradov. Des calculs difficiles, effectués sur ordinateur, rendent impossible une étude exhaustive.

In order to estimate exponential sums of the form mM e(f(m)) under conditions on the k-th derivative of f, one may use either van der Corput’s method for small values of k, or Vinogradov’s method for large values of k. We give the junction of both methods, according to the latest improvements for each of them, by studying the values k=9,10,11; our argument essentially relies on Vinogradov’s method. However, the computations involved here are rather intricate, which makes impossible an exhaustive study for larger values of k.

@article{JTNB_2002__14_1_271_0,
     author = {Robert, Olivier},
     title = {Quelques paires d'exposants par la m\'ethode de {Vinogradov}},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {271--285},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {14},
     number = {1},
     year = {2002},
     doi = {10.5802/jtnb.359},
     zbl = {1021.11025},
     mrnumber = {1926003},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.359/}
}
Olivier Robert. Quelques paires d'exposants par la méthode de Vinogradov. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 1, pp. 271-285. doi : 10.5802/jtnb.359. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.359/

[1] S.W. Graham, G. Kolesnik, Van der Corput's method for exponential sums. London Math. Soc. Lecture Notes Series 126, Cambridge University Press, 1991. | MR 1145488 | Zbl 0713.11001

[2] L.K. Hua, On a theorem due to Vinogradov. Quarterly Journal of Maths, Oxford Series 11, 161-176 (1940). This paper is included in Loo-Keng Hua Selected Papers, edited by H. Halberstam, Springer Verlag, 1983. | JFM 66.0165.02 | MR 3016 | Zbl 0025.02703

[3] M.N. Huxley, Area, lattice points and exponential sums. Clarendon Press, Oxford, 1996. | MR 1420620 | Zbl 0861.11002

[4] A.A. Karatsuba, Estimates for trigonometric sums by Vinogradov's method and some applications. Proc. Steklov Inst. Math. 112 (1971), 251-265. | Zbl 0259.10040

[5] O. Robert, Application des systèmes diophantiens aux sommes d'exponentielles. Thèse Université Henri Poincaré - Nancy I, 2001.

[6] P. Sargos, An analog of van der Corput's A4-process for exponential sums, manuscrit.

[7] T.D. Wooley, On Vinogradov's mean value theorem. Mathematika 39 (1992), 379-399. | MR 1203293 | Zbl 0769.11036