Let be a number field and its class group. A Galois extension of is called alternating if its Galois group is isomorphic to the alternating group . Let be a cyclic extension of degree . We calculate the Steinitz class, in , of every alternating extension containing . Under the assumption that the class number of is odd, we determine the set of such classes and we prove that it is a subgroup of when the ring of integers of is free over that for or the order of is not divisible by . Next, we prove that the subset of consisting of those classes which are realizable as the Steinitz classes of alternating (resp. tame alternating) extensions is the full group .
Soient un corps de nombres et son groupe des classes. Une extension de à groupe de Galois isomorphe au groupe alterné est dite alternée. Soit une extension cyclique de degré . On calcule la classe de Steinitz, dans , de toute extension alternée contenant . Sous l’hypothèse que le nombre des classes de est impair, on détermine l’ensemble de telles classes et on montre que c’est un sous-groupe de lorsque l’anneau des entiers de est libre sur celui de ou ne divise pas l’ordre de . Ensuite, on montre que l’ensemble des éléments de qui sont réalisables par des classes de Steinitz d’extensions alternées (resp. alternées et modérées) est le groupe tout entier.
@article{JTNB_2002__14_1_241_0, author = {Marjory Godin and Boucha{\"\i}b Soda{\"\i}gui}, title = {Classes de {Steinitz} d{\textquoteright}extensions \`a groupe de {Galois} $A_4$}, journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux}, pages = {241--248}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {14}, number = {1}, year = {2002}, doi = {10.5802/jtnb.356}, zbl = {1026.11082}, mrnumber = {1926000}, language = {fr}, url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.356/} }
TY - JOUR TI - Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$ JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux PY - 2002 DA - 2002/// SP - 241 EP - 248 VL - 14 IS - 1 PB - Université Bordeaux I UR - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.356/ UR - https://zbmath.org/?q=an%3A1026.11082 UR - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1926000 UR - https://doi.org/10.5802/jtnb.356 DO - 10.5802/jtnb.356 LA - fr ID - JTNB_2002__14_1_241_0 ER -
Marjory Godin; Bouchaïb Sodaïgui. Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 14 (2002) no. 1, pp. 241-248. doi : 10.5802/jtnb.356. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.356/
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