Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$

Marjory Godin; Bouchaïb Sodaïgui

doi:10.5802/jtnb.356

Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois

A_{4}

Marjory Godin ; Bouchaïb Sodaïgui

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 1, pp. 241-248.

Résumé
Abstract

Soient $k$ un corps de nombres et $𝒞 l (k)$ son groupe des classes. Une extension de $k$ à groupe de Galois isomorphe au groupe alterné $A_{4}$ est dite alternée. Soit $E / k$ une extension cyclique de degré $3$ . On calcule la classe de Steinitz, dans $𝒞 l (k)$ , de toute extension alternée contenant $E$ . Sous l’hypothèse que le nombre des classes de $k$ est impair, on détermine l’ensemble de telles classes et on montre que c’est un sous-groupe de $𝒞 l (k)$ lorsque l’anneau des entiers de $E$ est libre sur celui de $k$ ou $3$ ne divise pas l’ordre de $𝒞 l (k)$ . Ensuite, on montre que l’ensemble des éléments de $𝒞 l (k)$ qui sont réalisables par des classes de Steinitz d’extensions alternées (resp. alternées et modérées) est le groupe $𝒞 l (k)$ tout entier.

Let $k$ be a number field and $𝒞 l (k)$ its class group. A Galois extension of $k$ is called alternating if its Galois group is isomorphic to the alternating group $A_{4}$ . Let $E / k$ be a cyclic extension of degree $3$ . We calculate the Steinitz class, in $𝒞 l (k)$ , of every alternating extension containing $E$ . Under the assumption that the class number of $k$ is odd, we determine the set of such classes and we prove that it is a subgroup of $𝒞 l (k)$ when the ring of integers of $E$ is free over that for $k$ or the order of $𝒞 l (k)$ is not divisible by $3$ . Next, we prove that the subset of $𝒞 l (k)$ consisting of those classes which are realizable as the Steinitz classes of alternating (resp. tame alternating) extensions is the full group $𝒞 l (k)$ .

MR 1926000 | Zbl 1026.11082

DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.356

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Marjory Godin; Bouchaïb Sodaïgui. Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 1, pp. 241-248. doi : 10.5802/jtnb.356. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.356/

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