Hilbert symbols, class groups and quaternion algebras

Ted Chinburg; Eduardo Friedman

doi:10.5802/jtnb.284

Ted Chinburg; Eduardo Friedman

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 12 (2000) no. 2, pp. 367-377.

Abstract
Résumé

Let $B$ be a quaternion algebra over a number field $k$ . To a pair of Hilbert symbols ${a, b}$ and ${c, d}$ for $B$ we associate an invariant $ρ = ρ_{R} ([𝒟 (a, b)], [𝒟 (c, d)])$ in a quotient of the narrow ideal class group of $k$ . This invariant arises from the study of finite subgroups of maximal arithmetic kleinian groups. It measures the distance between orders $𝒟 (a, b)$ and $𝒟 (c, d)$ in $B$ associated to ${a, b}$ and ${c, d} .$ If $a = c$ , we compute $ρ_{R} ([𝒟 (a, b)], [𝒟 (c, d)])$ by means of arithmetic in the field $k (\sqrt{a}) .$ The problem of extending this algorithm to the general case leads to studying a finite graph associated to different Hilbert symbols for $B$ . An example arising from the determination of the smallest arithmetic hyperbolic $3$ -manifold is discussed.

Soit $B$ une algèbre de quaternions définie sur un corps de nombres $k$ . Nous associons à tout couple de symboles de Hilbert ${a, b}$ et ${c, d}$ pour $B$ un invariant $ρ = ρ_{R} ([𝒟 (a, b)], [𝒟 (c, d)])$ dans un quotient du groupe des classes au sens restreint de $k$ . Cet invariant a son origine dans l’étude des sous-groupes finis d’un groupe kleinien arithmétique maximal. Il mesure la distance entre les ordres $𝒟 (a, b)$ et $𝒟 (c, b)$ dans $B$ associés à $a, b$ et $c, d$ . Si $a = c$ , nous calculons $ρ_{R} ([𝒟 (a, b)], [𝒟 (c, d)])$ en termes de l’arithmétique du corps $k (\sqrt{a}) .$ Le problème d’étendre ce calcul au cas général conduit à l’étude d’un graphe fini lié aux différents symboles de Hilbert pour $B$ . Nous considérons en détail un exemple issu de la détermination de la plus petite variété hyperbolique arithmétique de dimension trois.

MR: 1823190 | Zbl: 0973.11097

DOI: 10.5802/jtnb.284

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Ted Chinburg; Eduardo Friedman. Hilbert symbols, class groups and quaternion algebras. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 12 (2000) no. 2, pp. 367-377. doi : 10.5802/jtnb.284. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.284/

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