Imbrications entre le théorème de Mason, la descente de Belyi et les différentes formes de la conjecture (abc)
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 11 (1999) no. 1, pp. 91-109

Soient A,B,C=A+B trois éléments de l’ensemble ℕ * des entiers > 0 (resp. ℂ[X]) des polynômes complexes) premiers entre eux ; on note r(ABC) le produit des facteurs premiers (resp. le nombre des facteurs premiers dans ℂ[X]) du produit ABC. La conjecture (abc) énonce que, pour tout ϵ>0, il existe C ϵ >0 pour lequel l’inégalité : r(ABC)≥C ϵ S 1-ϵ avec S= max(A,B,C)) est toujours vérifiée. Le théorème de Mason établit l’inégalité, D (supposé > 0) désignant le plus grand des degrés des polynômes A,B,C:r(ABC)≥D+1. Les cas de triplets de polynômes où l’égalité r(ABC)=D+1 est vérifiée sont reliés à de nombreux problèmes de théorie des nombres ; les triplets d’entiers qu’ils engendrent conduisent, modulo la conjecture (abc), à des minorations de r(G(A,B)) où G∈ℤ[X,T] est un polynôme homogène et A,B des entiers premiers entre eux ; dans ces constructions de polynômes et d’entiers, le théorème de Mason et son environnement jouent un rôle-clef.

Let A,B,C=A+B be relatively prime polynomials with complex coefficients and maximal degree D (> 0). The Mason’s theorem implies that D+1 does not exceed the number r(ABC) of distinct roots of the product ABC. Similarly, let A,B,C=A+B be relatively prime positive integers and S= max(A,B,C). Let r(ABC) be the product of all primes dividing the product ABC. The abc-conjecture implies that, for any ϵ>0, there exists C ϵ >0 such that the inequality: r(ABC)≥C ϵ S 1-ϵ holds for any triple A,B,C=A+B of integers. The cases of equality r(ABC)=D+1 for polynomials A,B,C=A+B are linked to numerous results in number theory ; triples of integers generated by these cases lead, by using the abc-conjecture, to optimal minoration of r(G(A,B)) (where G∈ℤ[X,T] is a form and A,B are coprime integers) ; in these polynomial constructions of integers, the role of the Mason’s theorem is crucial.

Michel Langevin. Imbrications entre le théorème de Mason, la descente de Belyi et les différentes formes de la conjecture $(abc)$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 11 (1999) no. 1, pp. 91-109. doi: 10.5802/jtnb.240
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