Let be a number field containing and supplied with a group of automorphisms of prime to order ; for all -irreducible representation of , with character , and all G-module , let rg be the maximal integer such that contains . We obtain for instance the following explicit general formula : where and are finite disjoint sets of places of such that contains all places above , where is the generalized class group corresponding, by class field theory, to the Galois group of the maximal abelian -extension, -ramified and -splitted of , and is an elementary algebraic expression and * the involution which acts on characters according to classical Kummer duality. This formula, and those obtained without the hypothesis about the places above , give the most general “Spiegelungssatz” of Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. with conductors), generalizations of a great number of isolated results (especially in the subtil case ), and rank formulas for the main arithmetical invariants attached to .
Soit un corps de nombres contenant et muni d’un groupe d’automorphismes d’ordre étranger à ; pour toute représentation -irréductible de , de caractère , et tout -module , soit rg l’entier maximum tel que contienne . Nous établissons par exemple la formule générale explicite suivante : où et sont des ensembles finis disjoints de places de tels que contienne les places au-dessus de , où est le groupe de classes généralisées qui correspond, par le corps de classes, au groupe de Galois de la -extension abélienne maximale -ramifiée, -décomposée de , et où est une expression algébrique élémentaire et * l’involution qui échange les caractères selon la dualité de Kummer classique. Cette formule, ainsi que celles obtenues en dehors de l’hypothèse sur les places au-dessus de , conduisent à la théorie la plus générale du “Spiegelungssatz” de Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. avec conducteurs), à la généralisation d’un grand nombre de résultats isolés (notamment dans le subtil cas ), et enfin à des formules de rangs pour les principaux invariants arithmétiques attachés à .
Keywords: «Spiegelungssatz» avec conducteurs, théorème de Scholz-Leopoldt-Kuroda, corps de classes, groupes de classes généralisées, unités, représentations et caractères, -rangs, -rangs, extensions de Kummer, décomposition des idéaux premiers, -ramification abélienne, conjecture de Leopoldt-Jaulent, -théorie des anneaux d’entiers
@article{JTNB_1998__10_2_399_0, author = {Georges Gras}, title = {Th\'eor\`emes de r\'eflexion}, journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux}, pages = {399--499}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {10}, number = {2}, year = {1998}, doi = {10.5802/jtnb.234}, zbl = {0949.11058}, mrnumber = {1828251}, language = {fr}, url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.234/} }
TY - JOUR TI - Théorèmes de réflexion JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux PY - 1998 DA - 1998/// SP - 399 EP - 499 VL - 10 IS - 2 PB - Université Bordeaux I UR - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.234/ UR - https://zbmath.org/?q=an%3A0949.11058 UR - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1828251 UR - https://doi.org/10.5802/jtnb.234 DO - 10.5802/jtnb.234 LA - fr ID - JTNB_1998__10_2_399_0 ER -
Georges Gras. Théorèmes de réflexion. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 10 (1998) no. 2, pp. 399-499. doi : 10.5802/jtnb.234. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.234/
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