Théorèmes de réflexion

Georges Gras

doi:10.5802/jtnb.234

Georges Gras

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 399-499.

Résumé
Abstract

Soit $K$ un corps de nombres contenant $μ_{p}$ et muni d’un groupe d’automorphismes $G$ d’ordre étranger à $p$ ; pour toute représentation $𝔽_{p}$ -irréductible $V_{χ}$ de $G$ , de caractère $χ$ , et tout $G$ -module $M$ , soit rg $_{χ} (M)$ l’entier $r$ maximum tel que $M / M^{p}$ contienne $V_{χ}^{r}$ . Nous établissons par exemple la formule générale explicite suivante : $r g_{χ^{*}} (C ℓ_{T}^{S}) - r g_{χ} (C ℓ_{S}^{T}) = ρ_{χ} (T, S),$ où $T$ et $S$ sont des ensembles finis disjoints de places de $K$ tels que $T \cup S$ contienne les places au-dessus de $p \infty$ , où $C ℓ_{T}^{S}$ est le groupe de classes généralisées qui correspond, par le corps de classes, au groupe de Galois de la $p$ -extension abélienne maximale $T$ -ramifiée, $S$ -décomposée de $K$ , et où $ρ_{χ} (T, S)$ est une expression algébrique élémentaire et * l’involution qui échange les caractères selon la dualité de Kummer classique. Cette formule, ainsi que celles obtenues en dehors de l’hypothèse sur les places au-dessus de $p \infty$ , conduisent à la théorie la plus générale du “Spiegelungssatz” de Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. avec conducteurs), à la généralisation d’un grand nombre de résultats isolés (notamment dans le subtil cas $p = 2$ ), et enfin à des formules de rangs pour les principaux invariants arithmétiques attachés à $K$ .

Let $K$ be a number field containing $μ_{p}$ and supplied with a group of automorphisms $G$ of prime to $p$ order ; for all $𝔽_{p}$ -irreducible representation $V_{χ}$ of $G$ , with character $χ$ , and all G-module $M$ , let rg $_{χ} (M)$ be the maximal integer $r$ such that $M / M^{p}$ contains $V_{χ}^{r}$ . We obtain for instance the following explicit general formula : $r g_{χ^{*}} (C ℓ_{T}^{S}) - r g_{χ} (C ℓ_{S}^{T}) = ρ_{χ} (T, S),$ where $T$ and $S$ are finite disjoint sets of places of $K$ such that $T \cup S$ contains all places above $p \infty$ , where $C ℓ_{T}^{S}$ is the generalized class group corresponding, by class field theory, to the Galois group of the maximal abelian $p$ -extension, $T$ -ramified and $S$ -splitted of $K$ , and $ρ_{χ} (T, S)$ is an elementary algebraic expression and * the involution which acts on characters according to classical Kummer duality. This formula, and those obtained without the hypothesis about the places above $p_{\infty}$ , give the most general “Spiegelungssatz” of Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. with conductors), generalizations of a great number of isolated results (especially in the subtil case $p = 2$ ), and rank formulas for the main arithmetical invariants attached to $K$ .

MR 1828251 | Zbl 0949.11058

DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.234
Mots clés : «Spiegelungssatz» avec conducteurs, théorème de Scholz-Leopoldt-Kuroda, corps de classes, groupes de classes généralisées, unités, représentations et caractères,

χ

-rangs,

p

-rangs, extensions de Kummer, décomposition des idéaux premiers,

p

-ramification abélienne, conjecture de Leopoldt-Jaulent,

K

-théorie des anneaux d’entiers

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Georges Gras. Théorèmes de réflexion. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 399-499. doi : 10.5802/jtnb.234. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.234/

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