Nombres de racines d’un polynôme entier modulo q
Monique Branton ; Olivier Ramaré
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 1, pp. 125-134.

Nous montrons que l’ensemble des racines modulo une puissance d’un nombre premier d’un polynôme à coefficients entiers de degré d est une union d’au plus d progressions arithmétiques de modules assez grands. Nous en déduisons une majoration du nombre de ses racines dans un intervalle réel court.

We prove that the set of the residues modulo a power of a prime number which are roots of an integral polynomial with degree d is a collection of at more d arithmetic progressions. An upper bound of the number of these roots lying in a given small interval is deduced.

@article{JTNB_1998__10_1_125_0,
     author = {Branton, Monique and Ramar\'e, Olivier},
     title = {Nombres de racines d{\textquoteright}un polyn\^ome entier modulo $q$},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {125--134},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {10},
     number = {1},
     year = {1998},
     doi = {10.5802/jtnb.222},
     zbl = {0916.11015},
     mrnumber = {1827289},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.222/}
}
Monique Branton; Olivier Ramaré. Nombres de racines d’un polynôme entier modulo $q$. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 1, pp. 125-134. doi : 10.5802/jtnb.222. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.222/

[Hu] M.N. Huxley, A note on polynomial congruences, dans Recent progress in analytic number theory, vol.1 édité par H. Halberstam & C. Hooley (1981), 193-196. | MR 637347 | Zbl 0463.10002

[HS1] M.N. Huxley & P. Sargos Points entiers au voisinage d'une courbe plane de classe Cn, I, Acta Arith. 69 (1995), 359-366. | MR 1318755 | Zbl 0822.11070

[HS2] M.N. Huxley & P. Sargos Points entiers au voisinage d'une courbe plane de classe Cn, II, En préparation.

[Ka] E. Kamke, Zur Arithmetik der Polynome, Math. Z. 19 (1923/ 1924), 247-264. | JFM 50.0051.05 | MR 1544653

[Na] T. Nagell, An introduction to number theory, New-York (1964). | MR 174513 | Zbl 0042.26702

[Ko] S.V. Konjagin, On the number of solutions of an nth degree congruence with one unknown, Math. USSR Sbornik 37 (1980), no 2, 151-166. | Zbl 0447.10005

[RS] J.B. Rosser & L. Schoenfeld, Formulas for some functions of prime numbers, Ill. J. of Math. 6 (1962), 64-94. | MR 137689 | Zbl 0122.05001

[Sa] G. Sándor, Über die Anzahl der Lösungen einer Kongruenz, Acta Math. 87 (1951-52), 13-16. | MR 47679 | Zbl 0046.26605

[Se] J.P. Serre, Corps locaux, Hermann, 1968. | MR 354618 | Zbl 0137.02601

[St] S.B. Stečkin, Estimate of a complete rational trigonometric sum, Trudy Mat. Inst. Steklov. 143 (1977), 188-207; English transl. in Proc. Steklov Inst. Math. 143 no 1 (1980). | MR 480376 | Zbl 0433.10026