A mod-$p$ metaplectic Montréal functor

Robin Witthaus

doi:10.5802/jtnb.1319

Robin Witthaus ¹

¹Universität Duisburg-Essen Fakultät für Mathematik Thea-Leymann-Str. 9 45127 Essen Deutschland

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 37 (2025) no. 1, pp. 189-235

Abstract (Original language)
Résumé

We extend Colmez’s functor defined for $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ to the category of finitely generated smooth admissible mod-$p$ representations of the two-fold metaplectic cover of $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ – a central extension by the roots of unity $\mu _2$ in $\mathbf{Q}$. We compute the images of the absolutely irreducible objects, which are genuine, i.e. on which the central subgroup $\mu _2$ acts via the non-trivial character, and obtain a bijection between genuine supersingular representations and four-dimensional irreducible Galois representations invariant under twist by all characters of order two. Restricted to genuine representations, the extended functor naturally takes values in the category of what we call metaplectic Galois representations – Galois representations with a certain extra structure encoding the aforementioned twist-invariance.

Nous étendons le foncteur de Colmez, défini pour $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p),$ à la catégorie des représentations modulo $p$ admissibles, lisses de type fini du revêtement double métaplectique de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ — une extension centrale par le groupe des racines de l’unité $\mu _2$ de $\mathbf{Q}$. Nous calculons les images des objets absolument irréductibles, qui sont propres, i.e. sur lesquels le sous-groupe central $\mu _2$ agit via le caractère non-trivial, et nous obtenons une bijection entre les représentations supersingulières propres et les représentations galoisiennes irréductibles de dimensions quatre invariantes par torsion par tous les caractères d’ordre deux. Restreint aux représentations propres, le foncteur étendu est naturellement à valeurs dans la catégorie des représentations galoisiennes munies d’une certaine structure supplémentaire qui encode l’invariance par torsion, que nous appelons représentations galoisiennes métaplectiques.

Article information
Cite this article

Received: 2023-09-17
Revised: 2024-08-23
Accepted: 2024-10-17
Published online: 2025-06-23

DOI: 10.5802/jtnb.1319

Classification: 11F32, 11F80, 11SXX, 11F37
Keywords: Half-integral weight modular forms, metaplectic, mod-$p$ local Langlands, supersingular representations

Author's affiliations:

Robin Witthaus ¹

¹ Universität Duisburg-Essen Fakultät für Mathematik Thea-Leymann-Str. 9 45127 Essen Deutschland

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

Robin Witthaus. A mod-$p$ metaplectic Montréal functor. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 37 (2025) no. 1, pp. 189-235. doi: 10.5802/jtnb.1319

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References
Cited by

[1] Paul Balister; Susan Howson Note on Nakayama’s Lemma for Compact $Λ$ -modules, Asian J. Math., Volume 1 (1997) no. 2, pp. 224-229 | DOI | MR | Zbl

[2] Laure Barthel; Ron Livné Irreducible modular representations of ${GL}_{2}$ of a local field, Duke Math. J., Volume 75 (1994) no. 2, pp. 261-292 | MR | Zbl

[3] Laurent Berger On some modular representations of the Borel subgroup of ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ , Compos. Math., Volume 146 (2010) no. 1, pp. 58-80 | DOI | MR | Zbl

[4] Laurent Berger Représentations modulaires de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ et représentations galoisiennes de dimension $2$ , Représentations $p$ -adiques de groupes $p$ -adiques II: Représentations de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ et $(φ, Γ)$ -modules. (Astérisque), Volume 330, Société Mathématique de France, 2010, pp. 263-279 | Zbl

[5] Laurent Berger; Christophe Breuil Sur quelques représentations potentiellement cristallines de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ , Représentations $p$ -adiques de groupes $p$ -adiques II: Représentations de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ et $(φ, Γ)$ -modules. (Astérisque), Volume 330, Société Mathématique de France, 2010, pp. 155-211 | Numdam | Zbl

[6] Christophe Breuil Sur quelques représentations modulaires et $p$ -adiques de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ : I, Compos. Math., Volume 138 (2003) no. 2, pp. 165-188 | DOI | MR | Zbl

[7] Christophe Breuil Sur quelques représentations modulaires et $p$ -adiques de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ : II, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 2 (2003) no. 1, pp. 23-58 | MR | Zbl

[8] Christophe Breuil Introduction générale, Représentations $p$ -adiques de groupes $p$ -adiques I. Représentations galoisiennes et $(φ, Γ)$ -modules (Astérisque), Volume 319, Société Mathématique de France, 2008, pp. 1-12 | Numdam | Zbl

[9] Christophe Breuil Diagrammes de Diamond et $(φ, Γ)$ -modules, Isr. J. Math., Volume 182 (2011), pp. 349-382 | DOI | MR | Zbl

[10] Christophe Breuil Induction parabolique et $(φ, Γ)$ -modules, Algebra Number Theory, Volume 9 (2015) no. 10, pp. 2241-2291 | DOI | MR | Zbl

[11] Christophe Breuil; Florian Herzig; Yongquan Hu; Stefano Morra; Benjamin Schraen Conjectures and results on modular representations of ${GL}_{n} (K)$ for a $p$ -adic field $K$ (2021) | arXiv | Zbl

[12] Pierre Colmez La série principale unitaire de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ , Représentations $p$ -adiques de groupes $p$ -adiques II: Représentations de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ et $(φ, Γ)$ -modules. (Astérisque), Volume 330, Société Mathématique de France, 2010, pp. 213-262 | Numdam

[13] Pierre Colmez Représentations de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ et $(φ, Γ)$ -modules, Représentations $p$ -adiques de groupes $p$ -adiques II: Représentations de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ et $(φ, Γ)$ -modules. (Astérisque), Volume 330, Société Mathématique de France, 2010, pp. 281-509 | Numdam

[14] Pierre Colmez $(φ, Γ)$ -modules et représentations du mirabolique de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ , Représentations $p$ -adiques de groupes $p$ -adiques II: Représentations de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ et $(φ, Γ)$ -modules. (Astérisque), Volume 330, Société Mathématique de France, 2010, pp. 61-153

[15] Pierre Colmez; Gabriel Dospinescu; Vytautas Paškūnas The $p$ -adic local Langlands correspondence for ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ , Camb. J. Math., Volume 2 (2014) no. 1, pp. 1-47 | DOI | MR | Zbl

[16] Matthew Emerton On a class of coherent rings, with applications to the smooth representation theory of ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ in characteristic $p$ (2008) (preprint, https://math.uchicago.edu/~emerton/pdffiles/frob.pdf)

[17] Matthew Emerton Ordinary parts of admissible representations of $p$ -adic reductive groups I. Definition and first properties, Représentations $p$ -adiques de groupes $p$ -adiques III: Méthodes globales et géométriques (Astérisque), Volume 331, Société Mathématique de France, 2010, pp. 355-402 | Numdam | Zbl

[18] Matthew Emerton Ordinary parts of admissible representations of $p$ -adic reductive groups II. Derived functors, Représentations $p$ -adiques de groupes $p$ -adiques III: Méthodes globales et géométriques (Astérisque), Volume 331, Société Mathématique de France, 2010, pp. 403-459 | Numdam | Zbl

[19] Yuval Flicker Automorphic forms on covering groups of $GL (2)$ , Invent. Math., Volume 57 (1980), pp. 119-182 | DOI | MR | Zbl

[20] Jean-Marc Fontaine Représentations $p$ -adiques des corps locaux. I, The Grothendieck Festschrift, Vol. II (Progress in Mathematics), Volume 87, Birkhäuser, 1990, pp. 249-309 | Zbl

[21] Stephen Gelbart; Ilya I. Piatetski-Shapiro On Shimura’s correspondence for modular forms of half-integral weight, Automorphic Forms, Representation Theory and Arithmetic (Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics), Volume 10, Springer, 1981, pp. 1-39 | Zbl

[22] Florian Herzig Functor $D$ to $(φ, Γ)$ -modules and a lower bound for $D (π)$ Lecture Notes https://modp-langlands-2021.esaga.net/static/notes/Talk4-Herzig-20210427.pdf, Spring School on the mod- $p$ Langlands Correspondence, Essen (online) (2021); accessed 30.12.2024

[23] Vytautas Paškūnas The image of Colmez’s Montreal functor, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 118 (2013), pp. 1-191 | Zbl | DOI | MR | Numdam

[24] Peter Schneider $p$ -adic Banach space representations of $p$ -adic groups Lecture Notes https://ivv5hpp.unimuenster.de/u/pschnei/publ/lectnotes/jerusalem.pdf, Lectures at Jerusalem (2009); accessed 30.12.2024

[25] Peter Scholze Perfectoid spaces, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 116 (2012), pp. 245-313 | DOI | MR | Numdam | Zbl

[26] Goro Shimura On modular forms of half integral weight, Ann. Math., Volume 97 (1973), pp. 440-481 | DOI | Zbl

[27] Evgeny Shinder Group actions on categories and Elagin’s theorem revisited, Eur. J. Math., Volume 4 (2018) no. 1, pp. 413-422 | DOI | MR | Zbl

[28] Robin Witthaus The mod- $p$ representation theory of the metaplectic cover of ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ , Manuscr. Math., Volume 176 (2025) no. 1, 7, 74 pages | MR | Zbl

Cited by Sources: