H. Sharif and C. Woodcock give in [26] a characterization of formal power series with coefficients in a field of positive characteristic, which are algebraic over . They deduce in a simple way from this theorem the algebraicity of Hadamard products and diagonals of algebraic power series. (These results have been also obtained by T. Harase [14]). We give here a slightly different proof of their theorem and we show how it can lead to an interesting generalization of the notion of -substitution on an infinite alphabet (included in a field of characteristic ). In the last part of this paper we come back to the algebraic independence of certain formal power series which have been previously studied in [2].
H. Sharif et C. Woodcock donnent dans [26] une caractérisation des séries formelles à coefficients dans un corps de caractéristique non nulle et algébriques sur ; ils en déduisent simplement l’algébricité du produit de Hadamard ou des diagonales de séries algébriques. (Ces résultats ont aussi été obtenus par T. Harase [14]). Nous donnons ici une démonstration légèrement différente de leur théorème et montrons comment on peut en déduire une généralisation intéressante de la notion de -substitution sur un alphabet infini (inclus dans un corps de caractéristique ). Dans la dernière partie de cet article nous revenons sur l’indépendance algébrique de certaines séries formelles étudiées dans [2].
Classification: 10B40, 12E99
Keywords: formal power series, Hadamard products, diagonals of algebraic power series, automata
@article{JTNB_1989__1_1_163_0, author = {Jean-Paul Allouche}, title = {Note sur un article de {Sharif} et {Woodcock}}, journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux}, pages = {163--187}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {1}, number = {1}, year = {1989}, doi = {10.5802/jtnb.12}, zbl = {0714.12006}, mrnumber = {1050273}, language = {fr}, url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.12/} }
TY - JOUR TI - Note sur un article de Sharif et Woodcock JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux PY - 1989 DA - 1989/// SP - 163 EP - 187 VL - 1 IS - 1 PB - Université Bordeaux I UR - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.12/ UR - https://zbmath.org/?q=an%3A0714.12006 UR - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1050273 UR - https://doi.org/10.5802/jtnb.12 DO - 10.5802/jtnb.12 LA - fr ID - JTNB_1989__1_1_163_0 ER -
Jean-Paul Allouche. Note sur un article de Sharif et Woodcock. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 1 (1989) no. 1, pp. 163-187. doi : 10.5802/jtnb.12. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.12/
[1] Automates finis en théorie des Nombres, Expo. Math.. 5 (1987), 239-266. | MR: 898507 | Zbl: 0641.10041
,[2] Indépendance algébrique de certaines séries formelles, Bull. Soc. Math. France 116 (1988), 449-454. | Numdam | MR: 1005389 | Zbl: 0696.10031
, , et ,[3] Communication privée.
[4] Ensembles presque périodiques k-reconnaissables, Theoretical Computer Science, 9 (1979), 141-145. | MR: 535129 | Zbl: 0402.68044
,[5] Fonctions et éléments algébriques, Pac. J. Math. 125 1 (1986), 1-37. | Zbl: 0591.12018
,[6] Diagonales de fractions rationnelles, Sém. de Théorie des Nombres de Paris (1986-1987), 65-90. Progress in Math., Birkhäuser. | MR: 990506 | Zbl: 0694.13013
,[7] Suites algébriques, automates et substitutions, Bull. Soc. Math. France, 108 (1980), 401-419. | Numdam | MR: 614317 | Zbl: 0472.10035
, , et ,[8] Intégration sur un cycle évanescent, Invent. Math. 76 (1983), 129-143. | MR: 739629 | Zbl: 0538.13007
,[9] Algebraic power series and diagonals, J. Number Theory 26 (1987), 46-67. | MR: 883533 | Zbl: 0609.12020
et ,[10] Sur certaines familles de séries formelles, Thèse, Paris VII (1972).
,[11] Sur divers produits de séries formelles, Bull. Soc. Math. France 102 (1974), 181-191. | Numdam | MR: 354647 | Zbl: 0313.13021
,[12] Communication privée.
[13] Algebraic functions over finite fields, J. Algebra 7 (1967), 271-277. | MR: 215820 | Zbl: 0175.03903
,[14] Algebraic elements in formal power series rings, Israel Journal of Math. 63 3 (1988), 281-288. | MR: 969943 | Zbl: 0675.13015
,[15] Communication privée.
[16] Sur les séries de Taylor n'ayant que des singularités algébrico-logarithmiques sur leur cercle de convergence, Comment. Math. Helv. 3 (1931), 266-306. | JFM: 57.0373.03 | MR: 1509439 | Zbl: 0003.11901
,[17] Automata and generalized Rudin-Shapiro sequences, Salzburg Universitât (1986).
,[18] Rational functions, diagonals, automata and arithmetic, in R.A. Mollin (ed.), First conference of the Canadian Number Theory Association, Banff/Can. (1988). (de Gruyter 1989). | Zbl: 0694.10008
et ,[19] Automata and the arithmetic of formal power series, Acta Arith. 46 (1986), 211-214. | MR: 864257 | Zbl: 0599.12020
et ,[20] Solution de la conjecture de Pisot sur le quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles, C.R. Acad. Sci. Paris t. 306, Série I (1988), 97-102. | MR: 929097 | Zbl: 0635.10007
,[21] Solution du problème arithmétique du quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles, C.R. Acad. Sci. Paris t. 288, série A (1979), 1055-1057. | MR: 541979 | Zbl: 0421.13005
,[22] Note on van der Poorten's proof of the Hadamard quotient theorem (Part I and II),, Sém. de Théorie des Nombres de Paris (1986-1987), 349-409. Progress in Math., Birkhaüser. | MR: 990517 | Zbl: 0661.10017
,[23] Suites automatiques à multi-indices, Sém. de Théorie des Nombres de Bordeaux, exposé n° 4 (1986-1987), 4.01-4.36. (avec un appendice de ). | Zbl: 0653.10049
,[24] Einführung in die Tranzendenten Zahlen, Springer, Berlin (1957.). | MR: 86842 | Zbl: 0077.04703
,[25] On a definition of a family of automata, Information and Control 4 (1961), 245-270. | MR: 135680 | Zbl: 0104.00702
,[26] Algebraic functions over a field of positive characteristic and Hadamard products, J. Lond. Math. Soc. (2) 37 (1988), 395-403. | MR: 939116 | Zbl: 0612.12018
et ,[27] Hadamard products of rational formal power series. Preprint. | MR: 1036407
et ,[28] On the transcendence of certain series, J. Algebra 121 (1989), 364-369. | MR: 992771 | Zbl: 0689.13014
et ,[29] Two types of function field transcendental numbers, Duke Math. J. 11 (1944), 755-758.. | MR: 11296 | Zbl: 0063.08103
,Cited by Sources: